Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7658 / 1748
↖ ↑ ↗
← N 71.244356°
E156.533203°		 ← 1 571.17 m → N 71.244356°
E156.577148°		 →
↑
1 571.73 m
↓
↑
1 571.73 m
↓
N 71.230221°
E156.533203°		 ← 1 572.31 m →
2 470 342 m²		 N 71.230221°
E156.577148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93487548828125 y=0.21343994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93487548828125 × 213)
    floor (0.93487548828125 × 8192)
    floor (7658.5)     		tx = 7658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21343994140625 × 213)
    floor (0.21343994140625 × 8192)
    floor (1748.5)     		ty = 1748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7658 / 1748 ti = "13/7658/1748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7658/1748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7658 ÷ 213
    7658 ÷ 8192     		x = 0.934814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1748 ÷ 213
    1748 ÷ 8192     		y = 0.21337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934814453125 × 2 - 1) × π
    0.86962890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.73201978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21337890625 × 2 - 1) × π
    0.5732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.80089344492627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73201978} λ = 2.73201978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80089344492627))-π/2
    2×atan(6.05505490651189)-π/2
    2×1.40712245197172-π/2
    2.81424490394343-1.57079632675     		φ = 1.24344858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73201978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.533203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24344858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.244356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7658 KachelY 1748 2.73201978 1.24344858 156.533203 71.244356
    Oben rechts KachelX + 1 7659 KachelY 1748 2.73278677 1.24344858 156.577148 71.244356
    Unten links KachelX 7658 KachelY + 1 1749 2.73201978 1.24320188 156.533203 71.230221
    Unten rechts KachelX + 1 7659 KachelY + 1 1749 2.73278677 1.24320188 156.577148 71.230221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24344858-1.24320188) × R
    0.000246699999999933 × 6371000     		dl = 1571.72569999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24344858-1.24320188) × R
    0.000246699999999933 × 6371000     		dr = 1571.72569999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73201978-2.73278677) × cos(1.24344858) × R
    0.000766990000000245 × 0.321532747767724 × 6371000     		do = 1571.16761448275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73201978-2.73278677) × cos(1.24320188) × R
    0.000766990000000245 × 0.321766337830865 × 6371000     		du = 1572.30905075889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24344858)-sin(1.24320188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321532747767724-0.321766337830865)×R²
    abs(2.73278677-2.73201978)×0.00023359006314061×R²
    0.000766990000000245×0.00023359006314061×6371000²
    0.000766990000000245×0.00023359006314061×40589641000000     		ar = 2470341.5435839m²