Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76576 / 58336
↖ ↑ ↗
← N 19.394068°
E 30.322266°		 ← 288.09 m → N 19.394068°
E 30.325012°		 →
↑
288.10 m
↓
↑
288.10 m
↓
N 19.391477°
E 30.322266°		 ← 288.10 m →
83 000 m²		 N 19.391477°
E 30.325012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584232330322266 y=0.445072174072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584232330322266 × 217)
    floor (0.584232330322266 × 131072)
    floor (76576.5)     		tx = 76576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445072174072266 × 217)
    floor (0.445072174072266 × 131072)
    floor (58336.5)     		ty = 58336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76576 / 58336 ti = "17/76576/58336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76576/58336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76576 ÷ 217
    76576 ÷ 131072     		x = 0.584228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58336 ÷ 217
    58336 ÷ 131072     		y = 0.445068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584228515625 × 2 - 1) × π
    0.16845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52922337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445068359375 × 2 - 1) × π
    0.10986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.345145677264404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52922337} λ = 0.52922337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345145677264404))-π/2
    2×atan(1.41219562947978)-π/2
    2×0.954643333457795-π/2
    1.90928666691559-1.57079632675     		φ = 0.33849034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52922337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.322266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33849034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.394068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76576 KachelY 58336 0.52922337 0.33849034 30.322266 19.394068
    Oben rechts KachelX + 1 76577 KachelY 58336 0.52927131 0.33849034 30.325012 19.394068
    Unten links KachelX 76576 KachelY + 1 58337 0.52922337 0.33844512 30.322266 19.391477
    Unten rechts KachelX + 1 76577 KachelY + 1 58337 0.52927131 0.33844512 30.325012 19.391477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33849034-0.33844512) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dl = 288.096620000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33849034-0.33844512) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dr = 288.096620000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52922337-0.52927131) × cos(0.33849034) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.943257043157337 × 6371000     		do = 288.09498041702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52922337-0.52927131) × cos(0.33844512) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.943272058103201 × 6371000     		du = 288.099566367972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33849034)-sin(0.33844512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943257043157337-0.943272058103201)×R²
    abs(0.52927131-0.52922337)×1.50149458646442e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.50149458646442e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.50149458646442e-05×40589641000000     		ar = 82999.8507097731m²