Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7657 / 1749
↖ ↑ ↗
← N 71.230221°
E156.489258°		 ← 1 572.31 m → N 71.230221°
E156.533203°		 →
↑
1 572.94 m
↓
↑
1 572.94 m
↓
N 71.216075°
E156.489258°		 ← 1 573.45 m →
2 474 040 m²		 N 71.216075°
E156.533203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93475341796875 y=0.21356201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93475341796875 × 213)
    floor (0.93475341796875 × 8192)
    floor (7657.5)     		tx = 7657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21356201171875 × 213)
    floor (0.21356201171875 × 8192)
    floor (1749.5)     		ty = 1749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7657 / 1749 ti = "13/7657/1749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7657/1749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7657 ÷ 213
    7657 ÷ 8192     		x = 0.9346923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1749 ÷ 213
    1749 ÷ 8192     		y = 0.2135009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9346923828125 × 2 - 1) × π
    0.869384765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.73125279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2135009765625 × 2 - 1) × π
    0.572998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.80012645453235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73125279} λ = 2.73125279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80012645453235))-π/2
    2×atan(6.05041251812517)-π/2
    2×1.40699910092033-π/2
    2.81399820184065-1.57079632675     		φ = 1.24320188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73125279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.489258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24320188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.230221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7657 KachelY 1749 2.73125279 1.24320188 156.489258 71.230221
    Oben rechts KachelX + 1 7658 KachelY 1749 2.73201978 1.24320188 156.533203 71.230221
    Unten links KachelX 7657 KachelY + 1 1750 2.73125279 1.24295499 156.489258 71.216075
    Unten rechts KachelX + 1 7658 KachelY + 1 1750 2.73201978 1.24295499 156.533203 71.216075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24320188-1.24295499) × R
    0.000246889999999889 × 6371000     		dl = 1572.93618999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24320188-1.24295499) × R
    0.000246889999999889 × 6371000     		dr = 1572.93618999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73125279-2.73201978) × cos(1.24320188) × R
    0.000766989999999801 × 0.321766337830865 × 6371000     		do = 1572.30905075798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73125279-2.73201978) × cos(1.24295499) × R
    0.000766989999999801 × 0.322000088191557 × 6371000     		du = 1573.45127032704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24320188)-sin(1.24295499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321766337830865-0.322000088191557)×R²
    abs(2.73201978-2.73125279)×0.00023375036069212×R²
    0.000766989999999801×0.00023375036069212×6371000²
    0.000766989999999801×0.00023375036069212×40589641000000     		ar = 2474040.13961751m²