Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76569 / 59369
↖ ↑ ↗
← N 16.696709°
E 30.303039°		 ← 292.55 m → N 16.696709°
E 30.305786°		 →
↑
292.49 m
↓
↑
292.49 m
↓
N 16.694079°
E 30.303039°		 ← 292.55 m →
85 569 m²		 N 16.694079°
E 30.305786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584178924560547 y=0.452953338623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584178924560547 × 217)
    floor (0.584178924560547 × 131072)
    floor (76569.5)     		tx = 76569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452953338623047 × 217)
    floor (0.452953338623047 × 131072)
    floor (59369.5)     		ty = 59369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76569 / 59369 ti = "17/76569/59369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76569/59369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76569 ÷ 217
    76569 ÷ 131072     		x = 0.584175109863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59369 ÷ 217
    59369 ÷ 131072     		y = 0.452949523925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584175109863281 × 2 - 1) × π
    0.168350219726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.52888781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452949523925781 × 2 - 1) × π
    0.0941009521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.295626859956886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52888781} λ = 0.52888781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.295626859956886))-π/2
    2×atan(1.34396857476576)-π/2
    2×0.931104440637806-π/2
    1.86220888127561-1.57079632675     		φ = 0.29141255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52888781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.303039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29141255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.696709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76569 KachelY 59369 0.52888781 0.29141255 30.303039 16.696709
    Oben rechts KachelX + 1 76570 KachelY 59369 0.52893575 0.29141255 30.305786 16.696709
    Unten links KachelX 76569 KachelY + 1 59370 0.52888781 0.29136664 30.303039 16.694079
    Unten rechts KachelX + 1 76570 KachelY + 1 59370 0.52893575 0.29136664 30.305786 16.694079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29141255-0.29136664) × R
    4.59099999999824e-05 × 6371000     		dl = 292.492609999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29141255-0.29136664) × R
    4.59099999999824e-05 × 6371000     		dr = 292.492609999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52888781-0.52893575) × cos(0.29141255) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.957838997840803 × 6371000     		do = 292.548684716871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52888781-0.52893575) × cos(0.29136664) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.957852187027181 × 6371000     		du = 292.552713033881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29141255)-sin(0.29136664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957838997840803-0.957852187027181)×R²
    abs(0.52893575-0.52888781)×1.31891863787148e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.31891863787148e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.31891863787148e-05×40589641000000     		ar = 85568.9174863893m²