Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76564 / 59259
↖ ↑ ↗
← N 16.985875°
E 30.289307°		 ← 292.10 m → N 16.985875°
E 30.292053°		 →
↑
292.11 m
↓
↑
292.11 m
↓
N 16.983248°
E 30.289307°		 ← 292.11 m →
85 327 m²		 N 16.983248°
E 30.292053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584140777587891 y=0.452114105224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584140777587891 × 217)
    floor (0.584140777587891 × 131072)
    floor (76564.5)     		tx = 76564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452114105224609 × 217)
    floor (0.452114105224609 × 131072)
    floor (59259.5)     		ty = 59259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76564 / 59259 ti = "17/76564/59259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76564/59259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76564 ÷ 217
    76564 ÷ 131072     		x = 0.584136962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59259 ÷ 217
    59259 ÷ 131072     		y = 0.452110290527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584136962890625 × 2 - 1) × π
    0.16827392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52864813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452110290527344 × 2 - 1) × π
    0.0957794189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.300899918915092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52864813} λ = 0.52864813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.300899918915092))-π/2
    2×atan(1.35107411780796)-π/2
    2×0.93362788869576-π/2
    1.86725577739152-1.57079632675     		φ = 0.29645945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52864813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.289307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29645945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.985875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76564 KachelY 59259 0.52864813 0.29645945 30.289307 16.985875
    Oben rechts KachelX + 1 76565 KachelY 59259 0.52869607 0.29645945 30.292053 16.985875
    Unten links KachelX 76564 KachelY + 1 59260 0.52864813 0.29641360 30.289307 16.983248
    Unten rechts KachelX + 1 76565 KachelY + 1 59260 0.52869607 0.29641360 30.292053 16.983248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29645945-0.29641360) × R
    4.58500000000139e-05 × 6371000     		dl = 292.110350000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29645945-0.29641360) × R
    4.58500000000139e-05 × 6371000     		dr = 292.110350000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52864813-0.52869607) × cos(0.29645945) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.956376803206009 × 6371000     		do = 292.102092837838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52864813-0.52869607) × cos(0.29641360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.956390196633819 × 6371000     		du = 292.106183535438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29645945)-sin(0.29641360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956376803206009-0.956390196633819)×R²
    abs(0.52869607-0.52864813)×1.33934278094827e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33934278094827e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33934278094827e-05×40589641000000     		ar = 85326.642057118m²