Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76559 / 59248
↖ ↑ ↗
← N 17.014767°
E 30.275573°		 ← 292.06 m → N 17.014767°
E 30.278320°		 →
↑
291.98 m
↓
↑
291.98 m
↓
N 17.012141°
E 30.275573°		 ← 292.06 m →
85 276 m²		 N 17.012141°
E 30.278320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584102630615234 y=0.452030181884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584102630615234 × 217)
    floor (0.584102630615234 × 131072)
    floor (76559.5)     		tx = 76559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452030181884766 × 217)
    floor (0.452030181884766 × 131072)
    floor (59248.5)     		ty = 59248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76559 / 59248 ti = "17/76559/59248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76559/59248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76559 ÷ 217
    76559 ÷ 131072     		x = 0.584098815917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59248 ÷ 217
    59248 ÷ 131072     		y = 0.4520263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584098815917969 × 2 - 1) × π
    0.168197631835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.52840844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4520263671875 × 2 - 1) × π
    0.095947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.301427224810913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52840844} λ = 0.52840844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.301427224810913))-π/2
    2×atan(1.35178673502309)-π/2
    2×0.933880020828159-π/2
    1.86776004165632-1.57079632675     		φ = 0.29696371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52840844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.275573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29696371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.014767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76559 KachelY 59248 0.52840844 0.29696371 30.275573 17.014767
    Oben rechts KachelX + 1 76560 KachelY 59248 0.52845638 0.29696371 30.278320 17.014767
    Unten links KachelX 76559 KachelY + 1 59249 0.52840844 0.29691788 30.275573 17.012141
    Unten rechts KachelX + 1 76560 KachelY + 1 59249 0.52845638 0.29691788 30.278320 17.012141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29696371-0.29691788) × R
    4.5829999999969e-05 × 6371000     		dl = 291.982929999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29696371-0.29691788) × R
    4.5829999999969e-05 × 6371000     		dr = 291.982929999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52840844-0.52845638) × cos(0.29696371) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95622936914783 × 6371000     		do = 292.057062681518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52840844-0.52845638) × cos(0.29691788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.956242778834342 × 6371000     		du = 292.061158344944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29696371)-sin(0.29691788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95622936914783-0.956242778834342)×R²
    abs(0.52845638-0.52840844)×1.34096865125333e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34096865125333e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34096865125333e-05×40589641000000     		ar = 85276.2748357747m²