Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76553 / 59255
↖ ↑ ↗
← N 16.996382°
E 30.259094°		 ← 292.09 m → N 16.996382°
E 30.261841°		 →
↑
292.11 m
↓
↑
292.11 m
↓
N 16.993755°
E 30.259094°		 ← 292.09 m →
85 322 m²		 N 16.993755°
E 30.261841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584056854248047 y=0.452083587646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584056854248047 × 217)
    floor (0.584056854248047 × 131072)
    floor (76553.5)     		tx = 76553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452083587646484 × 217)
    floor (0.452083587646484 × 131072)
    floor (59255.5)     		ty = 59255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76553 / 59255 ti = "17/76553/59255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76553/59255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76553 ÷ 217
    76553 ÷ 131072     		x = 0.584053039550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59255 ÷ 217
    59255 ÷ 131072     		y = 0.452079772949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584053039550781 × 2 - 1) × π
    0.168106079101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.52812082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452079772949219 × 2 - 1) × π
    0.0958404541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.301091666513573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52812082} λ = 0.52812082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.301091666513573))-π/2
    2×atan(1.35133320786457)-π/2
    2×0.933719577604794-π/2
    1.86743915520959-1.57079632675     		φ = 0.29664283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52812082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.259094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29664283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.996382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76553 KachelY 59255 0.52812082 0.29664283 30.259094 16.996382
    Oben rechts KachelX + 1 76554 KachelY 59255 0.52816876 0.29664283 30.261841 16.996382
    Unten links KachelX 76553 KachelY + 1 59256 0.52812082 0.29659698 30.259094 16.993755
    Unten rechts KachelX + 1 76554 KachelY + 1 59256 0.52816876 0.29659698 30.261841 16.993755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29664283-0.29659698) × R
    4.58500000000139e-05 × 6371000     		dl = 292.110350000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29664283-0.29659698) × R
    4.58500000000139e-05 × 6371000     		dr = 292.110350000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52812082-0.52816876) × cos(0.29664283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.956323215236111 × 6371000     		do = 292.085725692477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52812082-0.52816876) × cos(0.29659698) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.956336616704942 × 6371000     		du = 292.089818846012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29664283)-sin(0.29659698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956323215236111-0.956336616704942)×R²
    abs(0.52816876-0.52812082)×1.3401468830998e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3401468830998e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3401468830998e-05×40589641000000     		ar = 85321.8614032638m²