Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7655 / 1751
↖ ↑ ↗
← N 71.201920°
E156.401367°		 ← 1 574.59 m → N 71.201920°
E156.445312°		 →
↑
1 575.17 m
↓
↑
1 575.17 m
↓
N 71.187754°
E156.401367°		 ← 1 575.74 m →
2 481 148 m²		 N 71.187754°
E156.445312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93450927734375 y=0.21380615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93450927734375 × 213)
    floor (0.93450927734375 × 8192)
    floor (7655.5)     		tx = 7655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21380615234375 × 213)
    floor (0.21380615234375 × 8192)
    floor (1751.5)     		ty = 1751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7655 / 1751 ti = "13/7655/1751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7655/1751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7655 ÷ 213
    7655 ÷ 8192     		x = 0.9344482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1751 ÷ 213
    1751 ÷ 8192     		y = 0.2137451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9344482421875 × 2 - 1) × π
    0.868896484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.72971881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2137451171875 × 2 - 1) × π
    0.572509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79859247374451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72971881} λ = 2.72971881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79859247374451))-π/2
    2×atan(6.04113841652925)-π/2
    2×1.40675212992935-π/2
    2.8135042598587-1.57079632675     		φ = 1.24270793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72971881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.401367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24270793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.201920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7655 KachelY 1751 2.72971881 1.24270793 156.401367 71.201920
    Oben rechts KachelX + 1 7656 KachelY 1751 2.73048580 1.24270793 156.445312 71.201920
    Unten links KachelX 7655 KachelY + 1 1752 2.72971881 1.24246069 156.401367 71.187754
    Unten rechts KachelX + 1 7656 KachelY + 1 1752 2.73048580 1.24246069 156.445312 71.187754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24270793-1.24246069) × R
    0.000247239999999982 × 6371000     		dl = 1575.16603999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24270793-1.24246069) × R
    0.000247239999999982 × 6371000     		dr = 1575.16603999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72971881-2.73048580) × cos(1.24270793) × R
    0.000766989999999801 × 0.322233979857054 × 6371000     		do = 1574.59418038108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72971881-2.73048580) × cos(1.24246069) × R
    0.000766989999999801 × 0.322468022238295 × 6371000     		du = 1575.73782690659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24270793)-sin(1.24246069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322233979857054-0.322468022238295)×R²
    abs(2.73048580-2.72971881)×0.000234042381241528×R²
    0.000766989999999801×0.000234042381241528×6371000²
    0.000766989999999801×0.000234042381241528×40589641000000     		ar = 2481148.00894091m²