Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7655 / 10653
↖ ↑ ↗
← N 76.314257°
W137.949829°		 ← 144.51 m → N 76.314257°
W137.944336°		 →
↑
144.49 m
↓
↑
144.49 m
↓
N 76.312957°
W137.949829°		 ← 144.52 m →
20 882 m²		 N 76.312957°
W137.944336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.116813659667969 y=0.162559509277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.116813659667969 × 216)
    floor (0.116813659667969 × 65536)
    floor (7655.5)     		tx = 7655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162559509277344 × 216)
    floor (0.162559509277344 × 65536)
    floor (10653.5)     		ty = 10653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7655 / 10653 ti = "16/7655/10653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7655/10653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7655 ÷ 216
    7655 ÷ 65536     		x = 0.116806030273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10653 ÷ 216
    10653 ÷ 65536     		y = 0.162551879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.116806030273438 × 2 - 1) × π
    -0.766387939453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.40767872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162551879882812 × 2 - 1) × π
    0.674896240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12024907019508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40767872} λ = -2.40767872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12024907019508))-π/2
    2×atan(8.33321278416354)-π/2
    2×1.45136568948634-π/2
    2.90273137897267-1.57079632675     		φ = 1.33193505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40767872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.949829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33193505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.314257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7655 KachelY 10653 -2.40767872 1.33193505 -137.949829 76.314257
    Oben rechts KachelX + 1 7656 KachelY 10653 -2.40758285 1.33193505 -137.944336 76.314257
    Unten links KachelX 7655 KachelY + 1 10654 -2.40767872 1.33191237 -137.949829 76.312957
    Unten rechts KachelX + 1 7656 KachelY + 1 10654 -2.40758285 1.33191237 -137.944336 76.312957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33193505-1.33191237) × R
    2.26800000000527e-05 × 6371000     		dl = 144.494280000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33193505-1.33191237) × R
    2.26800000000527e-05 × 6371000     		dr = 144.494280000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40767872--2.40758285) × cos(1.33193505) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.236596387460858 × 6371000     		do = 144.51017988727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40767872--2.40758285) × cos(1.33191237) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.236618423469956 × 6371000     		du = 144.523639212127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33193505)-sin(1.33191237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236596387460858-0.236618423469956)×R²
    abs(-2.40758285--2.40767872)×2.20360090985861e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.20360090985861e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.20360090985861e-05×40589641000000     		ar = 20881.866794405m²