Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76547 / 59229
↖ ↑ ↗
← N 17.064662°
E 30.242615°		 ← 291.98 m → N 17.064662°
E 30.245361°		 →
↑
291.92 m
↓
↑
291.92 m
↓
N 17.062036°
E 30.242615°		 ← 291.98 m →
85 235 m²		 N 17.062036°
E 30.245361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584011077880859 y=0.451885223388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584011077880859 × 217)
    floor (0.584011077880859 × 131072)
    floor (76547.5)     		tx = 76547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451885223388672 × 217)
    floor (0.451885223388672 × 131072)
    floor (59229.5)     		ty = 59229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76547 / 59229 ti = "17/76547/59229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76547/59229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76547 ÷ 217
    76547 ÷ 131072     		x = 0.584007263183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59229 ÷ 217
    59229 ÷ 131072     		y = 0.451881408691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584007263183594 × 2 - 1) × π
    0.168014526367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.52783320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451881408691406 × 2 - 1) × π
    0.0962371826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.302338025903694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52783320} λ = 0.52783320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.302338025903694))-π/2
    2×atan(1.353018504722)-π/2
    2×0.934315430125097-π/2
    1.86863086025019-1.57079632675     		φ = 0.29783453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52783320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.242615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29783453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.064662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76547 KachelY 59229 0.52783320 0.29783453 30.242615 17.064662
    Oben rechts KachelX + 1 76548 KachelY 59229 0.52788114 0.29783453 30.245361 17.064662
    Unten links KachelX 76547 KachelY + 1 59230 0.52783320 0.29778871 30.242615 17.062036
    Unten rechts KachelX + 1 76548 KachelY + 1 59230 0.52788114 0.29778871 30.245361 17.062036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29783453-0.29778871) × R
    4.58199999999742e-05 × 6371000     		dl = 291.919219999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29783453-0.29778871) × R
    4.58199999999742e-05 × 6371000     		dr = 291.919219999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52783320-0.52788114) × cos(0.29783453) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.955974188857514 × 6371000     		do = 291.979124052514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52783320-0.52788114) × cos(0.29778871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.955987633767944 × 6371000     		du = 291.983230474232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29783453)-sin(0.29778871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955974188857514-0.955987633767944)×R²
    abs(0.52788114-0.52783320)×1.34449104299827e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34449104299827e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34449104299827e-05×40589641000000     		ar = 85234.9175362915m²