Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76546 / 59232
↖ ↑ ↗
← N 17.056785°
E 30.239868°		 ← 291.99 m → N 17.056785°
E 30.242615°		 →
↑
291.98 m
↓
↑
291.98 m
↓
N 17.054159°
E 30.239868°		 ← 292 m →
85 257 m²		 N 17.054159°
E 30.242615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584003448486328 y=0.451908111572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584003448486328 × 217)
    floor (0.584003448486328 × 131072)
    floor (76546.5)     		tx = 76546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451908111572266 × 217)
    floor (0.451908111572266 × 131072)
    floor (59232.5)     		ty = 59232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76546 / 59232 ti = "17/76546/59232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76546/59232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76546 ÷ 217
    76546 ÷ 131072     		x = 0.583999633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59232 ÷ 217
    59232 ÷ 131072     		y = 0.451904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583999633789062 × 2 - 1) × π
    0.167999267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52778526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451904296875 × 2 - 1) × π
    0.09619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.302194215204834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52778526} λ = 0.52778526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.302194215204834))-π/2
    2×atan(1.35282394017583)-π/2
    2×0.934246689016817-π/2
    1.86849337803363-1.57079632675     		φ = 0.29769705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52778526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.239868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29769705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.056785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76546 KachelY 59232 0.52778526 0.29769705 30.239868 17.056785
    Oben rechts KachelX + 1 76547 KachelY 59232 0.52783320 0.29769705 30.242615 17.056785
    Unten links KachelX 76546 KachelY + 1 59233 0.52778526 0.29765122 30.239868 17.054159
    Unten rechts KachelX + 1 76547 KachelY + 1 59233 0.52783320 0.29765122 30.242615 17.054159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29769705-0.29765122) × R
    4.58300000000245e-05 × 6371000     		dl = 291.982930000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29769705-0.29765122) × R
    4.58300000000245e-05 × 6371000     		dr = 291.982930000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52778526-0.52783320) × cos(0.29769705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.956014523433953 × 6371000     		do = 291.991443270371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52778526-0.52783320) × cos(0.29765122) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.956027965254969 × 6371000     		du = 291.995548748502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29769705)-sin(0.29765122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956014523433953-0.956027965254969)×R²
    abs(0.52783320-0.52778526)×1.34418210154807e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34418210154807e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34418210154807e-05×40589641000000     		ar = 85257.1165207352m²