Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76543 / 59137
↖ ↑ ↗
← N 17.306066°
E 30.231628°		 ← 291.60 m → N 17.306066°
E 30.234375°		 →
↑
291.60 m
↓
↑
291.60 m
↓
N 17.303443°
E 30.231628°		 ← 291.60 m →
85 031 m²		 N 17.303443°
E 30.234375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583980560302734 y=0.451183319091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583980560302734 × 217)
    floor (0.583980560302734 × 131072)
    floor (76543.5)     		tx = 76543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451183319091797 × 217)
    floor (0.451183319091797 × 131072)
    floor (59137.5)     		ty = 59137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76543 / 59137 ti = "17/76543/59137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76543/59137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76543 ÷ 217
    76543 ÷ 131072     		x = 0.583976745605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59137 ÷ 217
    59137 ÷ 131072     		y = 0.451179504394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583976745605469 × 2 - 1) × π
    0.167953491210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.52764145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451179504394531 × 2 - 1) × π
    0.0976409912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.306748220668739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52764145} λ = 0.52764145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.306748220668739))-π/2
    2×atan(1.3589987571947)-π/2
    2×0.936422076586922-π/2
    1.87284415317384-1.57079632675     		φ = 0.30204783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52764145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.231628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30204783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.306066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76543 KachelY 59137 0.52764145 0.30204783 30.231628 17.306066
    Oben rechts KachelX + 1 76544 KachelY 59137 0.52768939 0.30204783 30.234375 17.306066
    Unten links KachelX 76543 KachelY + 1 59138 0.52764145 0.30200206 30.231628 17.303443
    Unten rechts KachelX + 1 76544 KachelY + 1 59138 0.52768939 0.30200206 30.234375 17.303443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30204783-0.30200206) × R
    4.57700000000005e-05 × 6371000     		dl = 291.600670000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30204783-0.30200206) × R
    4.57700000000005e-05 × 6371000     		dr = 291.600670000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52764145-0.52768939) × cos(0.30204783) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.954729311251244 × 6371000     		do = 291.598906389086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52764145-0.52768939) × cos(0.30200206) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.954742925725551 × 6371000     		du = 291.603064599976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30204783)-sin(0.30200206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954729311251244-0.954742925725551)×R²
    abs(0.52768939-0.52764145)×1.36144743073663e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.36144743073663e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.36144743073663e-05×40589641000000     		ar = 85031.0427577014m²