Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76542 / 59126
↖ ↑ ↗
← N 17.334908°
E 30.228882°		 ← 291.49 m → N 17.334908°
E 30.231628°		 →
↑
291.54 m
↓
↑
291.54 m
↓
N 17.332286°
E 30.228882°		 ← 291.50 m →
84 981 m²		 N 17.332286°
E 30.231628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583972930908203 y=0.451099395751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583972930908203 × 217)
    floor (0.583972930908203 × 131072)
    floor (76542.5)     		tx = 76542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451099395751953 × 217)
    floor (0.451099395751953 × 131072)
    floor (59126.5)     		ty = 59126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76542 / 59126 ti = "17/76542/59126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76542/59126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76542 ÷ 217
    76542 ÷ 131072     		x = 0.583969116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59126 ÷ 217
    59126 ÷ 131072     		y = 0.451095581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583969116210938 × 2 - 1) × π
    0.167938232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52759352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451095581054688 × 2 - 1) × π
    0.097808837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.30727552656456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52759352} λ = 0.52759352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.30727552656456))-π/2
    2×atan(1.35971555422083)-π/2
    2×0.936673774032693-π/2
    1.87334754806539-1.57079632675     		φ = 0.30255122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52759352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.228882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30255122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.334908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76542 KachelY 59126 0.52759352 0.30255122 30.228882 17.334908
    Oben rechts KachelX + 1 76543 KachelY 59126 0.52764145 0.30255122 30.231628 17.334908
    Unten links KachelX 76542 KachelY + 1 59127 0.52759352 0.30250546 30.228882 17.332286
    Unten rechts KachelX + 1 76543 KachelY + 1 59127 0.52764145 0.30250546 30.231628 17.332286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30255122-0.30250546) × R
    4.57600000000058e-05 × 6371000     		dl = 291.536960000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30255122-0.30250546) × R
    4.57600000000058e-05 × 6371000     		dr = 291.536960000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52759352-0.52764145) × cos(0.30255122) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.954579443872992 × 6371000     		do = 291.492316776831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52759352-0.52764145) × cos(0.30250546) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.954593077363718 × 6371000     		du = 291.496479927235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30255122)-sin(0.30250546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954579443872992-0.954593077363718)×R²
    abs(0.52764145-0.52759352)×1.36334907263613e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.36334907263613e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.36334907263613e-05×40589641000000     		ar = 84981.3907674372m²