Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7654 / 5106
↖ ↑ ↗
← N 55.949200°
W 11.821289°		 ← 1 368.06 m → N 55.949200°
W 11.799316°		 →
↑
1 368.24 m
↓
↑
1 368.24 m
↓
N 55.936895°
W 11.821289°		 ← 1 368.49 m →
1 872 125 m²		 N 55.936895°
W 11.799316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467193603515625 y=0.311676025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467193603515625 × 214)
    floor (0.467193603515625 × 16384)
    floor (7654.5)     		tx = 7654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311676025390625 × 214)
    floor (0.311676025390625 × 16384)
    floor (5106.5)     		ty = 5106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7654 / 5106 ti = "14/7654/5106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7654/5106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7654 ÷ 214
    7654 ÷ 16384     		x = 0.4671630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5106 ÷ 214
    5106 ÷ 16384     		y = 0.3116455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4671630859375 × 2 - 1) × π
    -0.065673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20632042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3116455078125 × 2 - 1) × π
    0.376708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18346617781995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20632042} λ = -0.20632042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18346617781995))-π/2
    2×atan(3.26567401483494)-π/2
    2×1.27364703877497-π/2
    2.54729407754995-1.57079632675     		φ = 0.97649775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20632042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.821289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97649775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.949200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7654 KachelY 5106 -0.20632042 0.97649775 -11.821289 55.949200
    Oben rechts KachelX + 1 7655 KachelY 5106 -0.20593692 0.97649775 -11.799316 55.949200
    Unten links KachelX 7654 KachelY + 1 5107 -0.20632042 0.97628299 -11.821289 55.936895
    Unten rechts KachelX + 1 7655 KachelY + 1 5107 -0.20593692 0.97628299 -11.799316 55.936895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97649775-0.97628299) × R
    0.000214760000000092 × 6371000     		dl = 1368.23596000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97649775-0.97628299) × R
    0.000214760000000092 × 6371000     		dr = 1368.23596000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20632042--0.20593692) × cos(0.97649775) × R
    0.000383500000000009 × 0.559927734088408 × 6371000     		do = 1368.05939425196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20632042--0.20593692) × cos(0.97628299) × R
    0.000383500000000009 × 0.56010565873616 × 6371000     		du = 1368.49411371843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97649775)-sin(0.97628299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559927734088408-0.56010565873616)×R²
    abs(-0.20593692--0.20632042)×0.000177924647751349×R²
    0.000383500000000009×0.000177924647751349×6371000²
    0.000383500000000009×0.000177924647751349×40589641000000     		ar = 1872125.46523075m²