Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76537 / 59146
↖ ↑ ↗
← N 17.282464°
E 30.215149°		 ← 291.64 m → N 17.282464°
E 30.217896°		 →
↑
291.60 m
↓
↑
291.60 m
↓
N 17.279842°
E 30.215149°		 ← 291.64 m →
85 042 m²		 N 17.279842°
E 30.217896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583934783935547 y=0.451251983642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583934783935547 × 217)
    floor (0.583934783935547 × 131072)
    floor (76537.5)     		tx = 76537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451251983642578 × 217)
    floor (0.451251983642578 × 131072)
    floor (59146.5)     		ty = 59146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76537 / 59146 ti = "17/76537/59146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76537/59146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76537 ÷ 217
    76537 ÷ 131072     		x = 0.583930969238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59146 ÷ 217
    59146 ÷ 131072     		y = 0.451248168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583930969238281 × 2 - 1) × π
    0.167861938476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.52735383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451248168945312 × 2 - 1) × π
    0.097503662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.306316788572159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52735383} λ = 0.52735383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.306316788572159))-π/2
    2×atan(1.35841256797115)-π/2
    2×0.936216112941831-π/2
    1.87243222588366-1.57079632675     		φ = 0.30163590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52735383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.215149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30163590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.282464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76537 KachelY 59146 0.52735383 0.30163590 30.215149 17.282464
    Oben rechts KachelX + 1 76538 KachelY 59146 0.52740177 0.30163590 30.217896 17.282464
    Unten links KachelX 76537 KachelY + 1 59147 0.52735383 0.30159013 30.215149 17.279842
    Unten rechts KachelX + 1 76538 KachelY + 1 59147 0.52740177 0.30159013 30.217896 17.279842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30163590-0.30159013) × R
    4.57700000000005e-05 × 6371000     		dl = 291.600670000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30163590-0.30159013) × R
    4.57700000000005e-05 × 6371000     		dr = 291.600670000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52735383-0.52740177) × cos(0.30163590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.954851769514585 × 6371000     		do = 291.63630829411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52735383-0.52740177) × cos(0.30159013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.954865365987108 × 6371000     		du = 291.640461006792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30163590)-sin(0.30159013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954851769514585-0.954865365987108)×R²
    abs(0.52740177-0.52735383)×1.35964725234139e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35964725234139e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35964725234139e-05×40589641000000     		ar = 85041.9483766418m²