Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7653 / 4229
↖ ↑ ↗
← N 65.321005°
W 11.843262°		 ← 1 020.13 m → N 65.321005°
W 11.821289°		 →
↑
1 020.32 m
↓
↑
1 020.32 m
↓
N 65.311829°
W 11.843262°		 ← 1 020.48 m →
1 041 031 m²		 N 65.311829°
W 11.821289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467132568359375 y=0.258148193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467132568359375 × 214)
    floor (0.467132568359375 × 16384)
    floor (7653.5)     		tx = 7653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258148193359375 × 214)
    floor (0.258148193359375 × 16384)
    floor (4229.5)     		ty = 4229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7653 / 4229 ti = "14/7653/4229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7653/4229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7653 ÷ 214
    7653 ÷ 16384     		x = 0.46710205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4229 ÷ 214
    4229 ÷ 16384     		y = 0.25811767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46710205078125 × 2 - 1) × π
    -0.0657958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20670391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25811767578125 × 2 - 1) × π
    0.4837646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51979146555426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20670391} λ = -0.20670391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51979146555426))-π/2
    2×atan(4.57127182810368)-π/2
    2×1.35543146896645-π/2
    2.71086293793291-1.57079632675     		φ = 1.14006661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20670391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.843262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14006661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.321005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7653 KachelY 4229 -0.20670391 1.14006661 -11.843262 65.321005
    Oben rechts KachelX + 1 7654 KachelY 4229 -0.20632042 1.14006661 -11.821289 65.321005
    Unten links KachelX 7653 KachelY + 1 4230 -0.20670391 1.13990646 -11.843262 65.311829
    Unten rechts KachelX + 1 7654 KachelY + 1 4230 -0.20632042 1.13990646 -11.821289 65.311829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14006661-1.13990646) × R
    0.000160150000000137 × 6371000     		dl = 1020.31565000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14006661-1.13990646) × R
    0.000160150000000137 × 6371000     		dr = 1020.31565000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20670391--0.20632042) × cos(1.14006661) × R
    0.000383489999999986 × 0.417533978954816 × 6371000     		do = 1020.12519270992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20670391--0.20632042) × cos(1.13990646) × R
    0.000383489999999986 × 0.417679495708541 × 6371000     		du = 1020.48072139481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14006661)-sin(1.13990646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417533978954816-0.417679495708541)×R²
    abs(-0.20632042--0.20670391)×0.000145516753725372×R²
    0.000383489999999986×0.000145516753725372×6371000²
    0.000383489999999986×0.000145516753725372×40589641000000     		ar = 1041031.07704768m²