Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 7653 / 10668
↖ ↑ ↗
← N 76.294748°
W137.960816°		 ← 144.73 m → N 76.294748°
W137.955322°		 →
↑
144.69 m
↓
↑
144.69 m
↓
N 76.293447°
W137.960816°		 ← 144.74 m →
20 941 m²		 N 76.293447°
W137.955322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.116783142089844 y=0.162788391113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.116783142089844 × 216)
    floor (0.116783142089844 × 65536)
    floor (7653.5)     		tx = 7653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162788391113281 × 216)
    floor (0.162788391113281 × 65536)
    floor (10668.5)     		ty = 10668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7653 / 10668 ti = "16/7653/10668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7653/10668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7653 ÷ 216
    7653 ÷ 65536     		x = 0.116775512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10668 ÷ 216
    10668 ÷ 65536     		y = 0.16278076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.116775512695312 × 2 - 1) × π
    -0.766448974609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.40787047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16278076171875 × 2 - 1) × π
    0.6744384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11881096320648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40787047} λ = -2.40787047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11881096320648))-π/2
    2×atan(8.32123734566595)-π/2
    2×1.45119544512049-π/2
    2.90239089024098-1.57079632675     		φ = 1.33159456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40787047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.960816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33159456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.294748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7653 KachelY 10668 -2.40787047 1.33159456 -137.960816 76.294748
    Oben rechts KachelX + 1 7654 KachelY 10668 -2.40777459 1.33159456 -137.955322 76.294748
    Unten links KachelX 7653 KachelY + 1 10669 -2.40787047 1.33157185 -137.960816 76.293447
    Unten rechts KachelX + 1 7654 KachelY + 1 10669 -2.40777459 1.33157185 -137.955322 76.293447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33159456-1.33157185) × R
    2.27100000000924e-05 × 6371000     		dl = 144.685410000589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33159456-1.33157185) × R
    2.27100000000924e-05 × 6371000     		dr = 144.685410000589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40787047--2.40777459) × cos(1.33159456) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.236927196555339 × 6371000     		do = 144.727328668655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40787047--2.40777459) × cos(1.33157185) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.236949259881665 × 6371000     		du = 144.740806084195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33159456)-sin(1.33157185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236927196555339-0.236949259881665)×R²
    abs(-2.40777459--2.40787047)×2.20633263257053e-05×R²
    9.58800000003812e-05×2.20633263257053e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×2.20633263257053e-05×40589641000000     		ar = 20940.9078801845m²