Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76525 / 59366
↖ ↑ ↗
← N 16.704602°
E 30.182190°		 ← 292.54 m → N 16.704602°
E 30.184937°		 →
↑
292.56 m
↓
↑
292.56 m
↓
N 16.701971°
E 30.182190°		 ← 292.54 m →
85 584 m²		 N 16.701971°
E 30.184937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583843231201172 y=0.452930450439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583843231201172 × 217)
    floor (0.583843231201172 × 131072)
    floor (76525.5)     		tx = 76525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452930450439453 × 217)
    floor (0.452930450439453 × 131072)
    floor (59366.5)     		ty = 59366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76525 / 59366 ti = "17/76525/59366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76525/59366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76525 ÷ 217
    76525 ÷ 131072     		x = 0.583839416503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59366 ÷ 217
    59366 ÷ 131072     		y = 0.452926635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583839416503906 × 2 - 1) × π
    0.167678833007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.52677859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452926635742188 × 2 - 1) × π
    0.094146728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.295770670655746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52677859} λ = 0.52677859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.295770670655746))-π/2
    2×atan(1.34416186572407)-π/2
    2×0.931173312962504-π/2
    1.86234662592501-1.57079632675     		φ = 0.29155030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52677859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.182190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29155030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.704602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76525 KachelY 59366 0.52677859 0.29155030 30.182190 16.704602
    Oben rechts KachelX + 1 76526 KachelY 59366 0.52682653 0.29155030 30.184937 16.704602
    Unten links KachelX 76525 KachelY + 1 59367 0.52677859 0.29150438 30.182190 16.701971
    Unten rechts KachelX + 1 76526 KachelY + 1 59367 0.52682653 0.29150438 30.184937 16.701971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29155030-0.29150438) × R
    4.59199999999771e-05 × 6371000     		dl = 292.556319999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29155030-0.29150438) × R
    4.59199999999771e-05 × 6371000     		dr = 292.556319999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52677859-0.52682653) × cos(0.29155030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.957799412419844 × 6371000     		do = 292.536594309704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52677859-0.52682653) × cos(0.29150438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.957812610537546 × 6371000     		du = 292.54062535457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29155030)-sin(0.29150438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957799412419844-0.957812610537546)×R²
    abs(0.52682653-0.52677859)×1.31981177019513e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.31981177019513e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.31981177019513e-05×40589641000000     		ar = 85584.0191654558m²