Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76524 / 58476
↖ ↑ ↗
← N 19.030963°
E 30.179443°		 ← 288.73 m → N 19.030963°
E 30.182190°		 →
↑
288.73 m
↓
↑
288.73 m
↓
N 19.028367°
E 30.179443°		 ← 288.74 m →
83 367 m²		 N 19.028367°
E 30.182190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583835601806641 y=0.446140289306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583835601806641 × 217)
    floor (0.583835601806641 × 131072)
    floor (76524.5)     		tx = 76524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446140289306641 × 217)
    floor (0.446140289306641 × 131072)
    floor (58476.5)     		ty = 58476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76524 / 58476 ti = "17/76524/58476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76524/58476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76524 ÷ 217
    76524 ÷ 131072     		x = 0.583831787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58476 ÷ 217
    58476 ÷ 131072     		y = 0.446136474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583831787109375 × 2 - 1) × π
    0.16766357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52673065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446136474609375 × 2 - 1) × π
    0.10772705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.338434511317596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52673065} λ = 0.52673065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.338434511317596))-π/2
    2×atan(1.40274988170421)-π/2
    2×0.951474647910548-π/2
    1.9029492958211-1.57079632675     		φ = 0.33215297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52673065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.179443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33215297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.030963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76524 KachelY 58476 0.52673065 0.33215297 30.179443 19.030963
    Oben rechts KachelX + 1 76525 KachelY 58476 0.52677859 0.33215297 30.182190 19.030963
    Unten links KachelX 76524 KachelY + 1 58477 0.52673065 0.33210765 30.179443 19.028367
    Unten rechts KachelX + 1 76525 KachelY + 1 58477 0.52677859 0.33210765 30.182190 19.028367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33215297-0.33210765) × R
    4.53200000000153e-05 × 6371000     		dl = 288.733720000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33215297-0.33210765) × R
    4.53200000000153e-05 × 6371000     		dr = 288.733720000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52673065-0.52677859) × cos(0.33215297) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.945342496563869 × 6371000     		do = 288.731931566947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52673065-0.52677859) × cos(0.33210765) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.945357273496795 × 6371000     		du = 288.73644482262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33215297)-sin(0.33210765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945342496563869-0.945357273496795)×R²
    abs(0.52677859-0.52673065)×1.47769329253977e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.47769329253977e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.47769329253977e-05×40589641000000     		ar = 83367.2962629757m²