Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76523 / 59165
↖ ↑ ↗
← N 17.232628°
E 30.176697°		 ← 291.65 m → N 17.232628°
E 30.179443°		 →
↑
291.66 m
↓
↑
291.66 m
↓
N 17.230005°
E 30.176697°		 ← 291.66 m →
85 066 m²		 N 17.230005°
E 30.179443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583827972412109 y=0.451396942138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583827972412109 × 217)
    floor (0.583827972412109 × 131072)
    floor (76523.5)     		tx = 76523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451396942138672 × 217)
    floor (0.451396942138672 × 131072)
    floor (59165.5)     		ty = 59165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76523 / 59165 ti = "17/76523/59165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76523/59165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76523 ÷ 217
    76523 ÷ 131072     		x = 0.583824157714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59165 ÷ 217
    59165 ÷ 131072     		y = 0.451393127441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583824157714844 × 2 - 1) × π
    0.167648315429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.52668272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451393127441406 × 2 - 1) × π
    0.0972137451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.305405987479378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52668272} λ = 0.52668272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.305405987479378))-π/2
    2×atan(1.35717588759021)-π/2
    2×0.935781214143474-π/2
    1.87156242828695-1.57079632675     		φ = 0.30076610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52668272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.176697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30076610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.232628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76523 KachelY 59165 0.52668272 0.30076610 30.176697 17.232628
    Oben rechts KachelX + 1 76524 KachelY 59165 0.52673065 0.30076610 30.179443 17.232628
    Unten links KachelX 76523 KachelY + 1 59166 0.52668272 0.30072032 30.176697 17.230005
    Unten rechts KachelX + 1 76524 KachelY + 1 59166 0.52673065 0.30072032 30.179443 17.230005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30076610-0.30072032) × R
    4.57799999999953e-05 × 6371000     		dl = 291.66437999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30076610-0.30072032) × R
    4.57799999999953e-05 × 6371000     		dr = 291.66437999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52668272-0.52673065) × cos(0.30076610) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.95510981076955 × 6371000     		do = 291.654270689009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52668272-0.52673065) × cos(0.30072032) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.955123372185386 × 6371000     		du = 291.658411830478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30076610)-sin(0.30072032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95510981076955-0.955123372185386)×R²
    abs(0.52673065-0.52668272)×1.3561415835972e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.3561415835972e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.3561415835972e-05×40589641000000     		ar = 85065.7659615302m²