Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7652 / 10667
↖ ↑ ↗
← N 76.296050°
W137.966308°		 ← 144.70 m → N 76.296050°
W137.960816°		 →
↑
144.75 m
↓
↑
144.75 m
↓
N 76.294748°
W137.966308°		 ← 144.71 m →
20 946 m²		 N 76.294748°
W137.960816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.116767883300781 y=0.162773132324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.116767883300781 × 216)
    floor (0.116767883300781 × 65536)
    floor (7652.5)     		tx = 7652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162773132324219 × 216)
    floor (0.162773132324219 × 65536)
    floor (10667.5)     		ty = 10667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7652 / 10667 ti = "16/7652/10667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7652/10667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7652 ÷ 216
    7652 ÷ 65536     		x = 0.11676025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10667 ÷ 216
    10667 ÷ 65536     		y = 0.162765502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11676025390625 × 2 - 1) × π
    -0.7664794921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.40796634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162765502929688 × 2 - 1) × π
    0.674468994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11890683700572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40796634} λ = -2.40796634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11890683700572))-π/2
    2×atan(8.32203517254939)-π/2
    2×1.45120680214664-π/2
    2.90241360429328-1.57079632675     		φ = 1.33161728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40796634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.966308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33161728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.296050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7652 KachelY 10667 -2.40796634 1.33161728 -137.966308 76.296050
    Oben rechts KachelX + 1 7653 KachelY 10667 -2.40787047 1.33161728 -137.960816 76.296050
    Unten links KachelX 7652 KachelY + 1 10668 -2.40796634 1.33159456 -137.966308 76.294748
    Unten rechts KachelX + 1 7653 KachelY + 1 10668 -2.40787047 1.33159456 -137.960816 76.294748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33161728-1.33159456) × R
    2.27199999998096e-05 × 6371000     		dl = 144.749119998787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33161728-1.33159456) × R
    2.27199999998096e-05 × 6371000     		dr = 144.749119998787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40796634--2.40787047) × cos(1.33161728) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.236905123391492 × 6371000     		do = 144.698752017861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40796634--2.40787047) × cos(1.33159456) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.236927196555339 × 6371000     		du = 144.712234036384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33161728)-sin(1.33159456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236905123391492-0.236927196555339)×R²
    abs(-2.40787047--2.40796634)×2.20731638471416e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.20731638471416e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.20731638471416e-05×40589641000000     		ar = 20945.9927757298m²