Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76519 / 59192
↖ ↑ ↗
← N 17.161786°
E 30.165711°		 ← 291.83 m → N 17.161786°
E 30.168457°		 →
↑
291.79 m
↓
↑
291.79 m
↓
N 17.159162°
E 30.165711°		 ← 291.83 m →
85 153 m²		 N 17.159162°
E 30.168457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583797454833984 y=0.451602935791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583797454833984 × 217)
    floor (0.583797454833984 × 131072)
    floor (76519.5)     		tx = 76519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451602935791016 × 217)
    floor (0.451602935791016 × 131072)
    floor (59192.5)     		ty = 59192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76519 / 59192 ti = "17/76519/59192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76519/59192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76519 ÷ 217
    76519 ÷ 131072     		x = 0.583793640136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59192 ÷ 217
    59192 ÷ 131072     		y = 0.45159912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583793640136719 × 2 - 1) × π
    0.167587280273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.52649097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45159912109375 × 2 - 1) × π
    0.0968017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.304111691189636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52649097} λ = 0.52649097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.304111691189636))-π/2
    2×atan(1.35542043615658)-π/2
    2×0.935162998242925-π/2
    1.87032599648585-1.57079632675     		φ = 0.29952967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52649097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.165711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29952967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.161786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76519 KachelY 59192 0.52649097 0.29952967 30.165711 17.161786
    Oben rechts KachelX + 1 76520 KachelY 59192 0.52653891 0.29952967 30.168457 17.161786
    Unten links KachelX 76519 KachelY + 1 59193 0.52649097 0.29948387 30.165711 17.159162
    Unten rechts KachelX + 1 76520 KachelY + 1 59193 0.52653891 0.29948387 30.168457 17.159162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29952967-0.29948387) × R
    4.58000000000403e-05 × 6371000     		dl = 291.791800000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29952967-0.29948387) × R
    4.58000000000403e-05 × 6371000     		dr = 291.791800000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52649097-0.52653891) × cos(0.29952967) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.955475375474143 × 6371000     		do = 291.826773605777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52649097-0.52653891) × cos(0.29948387) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.955488888716973 × 6371000     		du = 291.830900897968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29952967)-sin(0.29948387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955475375474143-0.955488888716973)×R²
    abs(0.52653891-0.52649097)×1.35132428302764e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35132428302764e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35132428302764e-05×40589641000000     		ar = 85153.2617285743m²