Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76518 / 59164
↖ ↑ ↗
← N 17.235252°
E 30.162964°		 ← 291.71 m → N 17.235252°
E 30.165711°		 →
↑
291.73 m
↓
↑
291.73 m
↓
N 17.232628°
E 30.162964°		 ← 291.72 m →
85 101 m²		 N 17.232628°
E 30.165711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583789825439453 y=0.451389312744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583789825439453 × 217)
    floor (0.583789825439453 × 131072)
    floor (76518.5)     		tx = 76518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451389312744141 × 217)
    floor (0.451389312744141 × 131072)
    floor (59164.5)     		ty = 59164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76518 / 59164 ti = "17/76518/59164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76518/59164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76518 ÷ 217
    76518 ÷ 131072     		x = 0.583786010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59164 ÷ 217
    59164 ÷ 131072     		y = 0.451385498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583786010742188 × 2 - 1) × π
    0.167572021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52644303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451385498046875 × 2 - 1) × π
    0.09722900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.305453924378998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52644303} λ = 0.52644303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.305453924378998))-π/2
    2×atan(1.35724094795388)-π/2
    2×0.935804106482466-π/2
    1.87160821296493-1.57079632675     		φ = 0.30081189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52644303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.162964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30081189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.235252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76518 KachelY 59164 0.52644303 0.30081189 30.162964 17.235252
    Oben rechts KachelX + 1 76519 KachelY 59164 0.52649097 0.30081189 30.165711 17.235252
    Unten links KachelX 76518 KachelY + 1 59165 0.52644303 0.30076610 30.162964 17.232628
    Unten rechts KachelX + 1 76519 KachelY + 1 59165 0.52649097 0.30076610 30.165711 17.232628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30081189-0.30076610) × R
    4.57900000000455e-05 × 6371000     		dl = 291.72809000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30081189-0.30076610) × R
    4.57900000000455e-05 × 6371000     		dr = 291.72809000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52644303-0.52649097) × cos(0.30081189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95509624438903 × 6371000     		do = 291.710977213549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52644303-0.52649097) × cos(0.30076610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95510981076955 × 6371000     		du = 291.715120735359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30081189)-sin(0.30076610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95509624438903-0.95510981076955)×R²
    abs(0.52649097-0.52644303)×1.35663805205244e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35663805205244e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35663805205244e-05×40589641000000     		ar = 85100.8906203272m²