Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76514 / 59170
↖ ↑ ↗
← N 17.219511°
E 30.151977°		 ← 291.74 m → N 17.219511°
E 30.154724°		 →
↑
291.73 m
↓
↑
291.73 m
↓
N 17.216888°
E 30.151977°		 ← 291.74 m →
85 108 m²		 N 17.216888°
E 30.154724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583759307861328 y=0.451435089111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583759307861328 × 217)
    floor (0.583759307861328 × 131072)
    floor (76514.5)     		tx = 76514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451435089111328 × 217)
    floor (0.451435089111328 × 131072)
    floor (59170.5)     		ty = 59170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76514 / 59170 ti = "17/76514/59170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76514/59170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76514 ÷ 217
    76514 ÷ 131072     		x = 0.583755493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59170 ÷ 217
    59170 ÷ 131072     		y = 0.451431274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583755493164062 × 2 - 1) × π
    0.167510986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52625128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451431274414062 × 2 - 1) × π
    0.097137451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.305166302981277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52625128} λ = 0.52625128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.305166302981277))-π/2
    2×atan(1.35685063254961)-π/2
    2×0.935666747572798-π/2
    1.8713334951456-1.57079632675     		φ = 0.30053717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52625128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.151977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30053717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.219511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76514 KachelY 59170 0.52625128 0.30053717 30.151977 17.219511
    Oben rechts KachelX + 1 76515 KachelY 59170 0.52629922 0.30053717 30.154724 17.219511
    Unten links KachelX 76514 KachelY + 1 59171 0.52625128 0.30049138 30.151977 17.216888
    Unten rechts KachelX + 1 76515 KachelY + 1 59171 0.52629922 0.30049138 30.154724 17.216888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30053717-0.30049138) × R
    4.57900000000455e-05 × 6371000     		dl = 291.72809000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30053717-0.30049138) × R
    4.57900000000455e-05 × 6371000     		dr = 291.72809000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52625128-0.52629922) × cos(0.30053717) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.955177606711891 × 6371000     		do = 291.735827361217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52625128-0.52629922) × cos(0.30049138) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.955191161077249 × 6371000     		du = 291.739967213287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30053717)-sin(0.30049138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955177606711891-0.955191161077249)×R²
    abs(0.52629922-0.52625128)×1.35543653582149e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35543653582149e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35543653582149e-05×40589641000000     		ar = 85108.1395712643m²