Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76513 / 58720
↖ ↑ ↗
← N 18.396230°
E 30.149231°		 ← 289.76 m → N 18.396230°
E 30.151977°		 →
↑
289.82 m
↓
↑
289.82 m
↓
N 18.393624°
E 30.149231°		 ← 289.76 m →
83 977 m²		 N 18.393624°
E 30.151977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583751678466797 y=0.448001861572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583751678466797 × 217)
    floor (0.583751678466797 × 131072)
    floor (76513.5)     		tx = 76513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448001861572266 × 217)
    floor (0.448001861572266 × 131072)
    floor (58720.5)     		ty = 58720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76513 / 58720 ti = "17/76513/58720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76513/58720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76513 ÷ 217
    76513 ÷ 131072     		x = 0.583747863769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58720 ÷ 217
    58720 ÷ 131072     		y = 0.447998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583747863769531 × 2 - 1) × π
    0.167495727539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.52620335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447998046875 × 2 - 1) × π
    0.10400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.326737907810303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52620335} λ = 0.52620335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.326737907810303))-π/2
    2×atan(1.38643805497161)-π/2
    2×0.945935556324624-π/2
    1.89187111264925-1.57079632675     		φ = 0.32107479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52620335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.149231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32107479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.396230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76513 KachelY 58720 0.52620335 0.32107479 30.149231 18.396230
    Oben rechts KachelX + 1 76514 KachelY 58720 0.52625128 0.32107479 30.151977 18.396230
    Unten links KachelX 76513 KachelY + 1 58721 0.52620335 0.32102930 30.149231 18.393624
    Unten rechts KachelX + 1 76514 KachelY + 1 58721 0.52625128 0.32102930 30.151977 18.393624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32107479-0.32102930) × R
    4.54899999999814e-05 × 6371000     		dl = 289.816789999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32107479-0.32102930) × R
    4.54899999999814e-05 × 6371000     		dr = 289.816789999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52620335-0.52625128) × cos(0.32107479) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.948896776888081 × 6371000     		do = 289.757046051179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52620335-0.52625128) × cos(0.32102930) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.948911131941054 × 6371000     		du = 289.761429539296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32107479)-sin(0.32102930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948896776888081-0.948911131941054)×R²
    abs(0.52625128-0.52620335)×1.43550529735359e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.43550529735359e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.43550529735359e-05×40589641000000     		ar = 83977.0921850976m²