Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76512 / 59352
↖ ↑ ↗
← N 16.741427°
E 30.146484°		 ← 292.48 m → N 16.741427°
E 30.149231°		 →
↑
292.43 m
↓
↑
292.43 m
↓
N 16.738798°
E 30.146484°		 ← 292.48 m →
85 530 m²		 N 16.738798°
E 30.149231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583744049072266 y=0.452823638916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583744049072266 × 217)
    floor (0.583744049072266 × 131072)
    floor (76512.5)     		tx = 76512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452823638916016 × 217)
    floor (0.452823638916016 × 131072)
    floor (59352.5)     		ty = 59352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76512 / 59352 ti = "17/76512/59352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76512/59352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76512 ÷ 217
    76512 ÷ 131072     		x = 0.583740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59352 ÷ 217
    59352 ÷ 131072     		y = 0.45281982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583740234375 × 2 - 1) × π
    0.16748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52615541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45281982421875 × 2 - 1) × π
    0.0943603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.296441787250427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52615541} λ = 0.52615541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.296441787250427))-π/2
    2×atan(1.34506425782938)-π/2
    2×0.931494679483037-π/2
    1.86298935896607-1.57079632675     		φ = 0.29219303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52615541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.146484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29219303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.741427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76512 KachelY 59352 0.52615541 0.29219303 30.146484 16.741427
    Oben rechts KachelX + 1 76513 KachelY 59352 0.52620335 0.29219303 30.149231 16.741427
    Unten links KachelX 76512 KachelY + 1 59353 0.52615541 0.29214713 30.146484 16.738798
    Unten rechts KachelX + 1 76513 KachelY + 1 59353 0.52620335 0.29214713 30.149231 16.738798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29219303-0.29214713) × R
    4.59000000000431e-05 × 6371000     		dl = 292.428900000275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29219303-0.29214713) × R
    4.59000000000431e-05 × 6371000     		dr = 292.428900000275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52615541-0.52620335) × cos(0.29219303) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.957614469928317 × 6371000     		do = 292.480108112372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52615541-0.52620335) × cos(0.29214713) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.957627690551952 × 6371000     		du = 292.484146031129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29219303)-sin(0.29214713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957614469928317-0.957627690551952)×R²
    abs(0.52620335-0.52615541)×1.32206236347354e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32206236347354e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32206236347354e-05×40589641000000     		ar = 85530.2267043572m²