Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76512 / 59171
↖ ↑ ↗
← N 17.216888°
E 30.146484°		 ← 291.74 m → N 17.216888°
E 30.149231°		 →
↑
291.73 m
↓
↑
291.73 m
↓
N 17.214264°
E 30.146484°		 ← 291.74 m →
85 109 m²		 N 17.214264°
E 30.149231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583744049072266 y=0.451442718505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583744049072266 × 217)
    floor (0.583744049072266 × 131072)
    floor (76512.5)     		tx = 76512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451442718505859 × 217)
    floor (0.451442718505859 × 131072)
    floor (59171.5)     		ty = 59171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76512 / 59171 ti = "17/76512/59171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76512/59171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76512 ÷ 217
    76512 ÷ 131072     		x = 0.583740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59171 ÷ 217
    59171 ÷ 131072     		y = 0.451438903808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583740234375 × 2 - 1) × π
    0.16748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52615541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451438903808594 × 2 - 1) × π
    0.0971221923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.305118366081657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52615541} λ = 0.52615541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.305118366081657))-π/2
    2×atan(1.356785590896)-π/2
    2×0.935643853283823-π/2
    1.87128770656765-1.57079632675     		φ = 0.30049138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52615541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.146484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30049138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.216888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76512 KachelY 59171 0.52615541 0.30049138 30.146484 17.216888
    Oben rechts KachelX + 1 76513 KachelY 59171 0.52620335 0.30049138 30.149231 17.216888
    Unten links KachelX 76512 KachelY + 1 59172 0.52615541 0.30044559 30.146484 17.214264
    Unten rechts KachelX + 1 76513 KachelY + 1 59172 0.52620335 0.30044559 30.149231 17.214264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30049138-0.30044559) × R
    4.578999999999e-05 × 6371000     		dl = 291.728089999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30049138-0.30044559) × R
    4.578999999999e-05 × 6371000     		dr = 291.728089999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52615541-0.52620335) × cos(0.30049138) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.955191161077249 × 6371000     		do = 291.739967213287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52615541-0.52620335) × cos(0.30044559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.955204713439835 × 6371000     		du = 291.744106453658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30049138)-sin(0.30044559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955191161077249-0.955204713439835)×R²
    abs(0.52620335-0.52615541)×1.35523625858225e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35523625858225e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35523625858225e-05×40589641000000     		ar = 85109.3471929077m²