Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76511 / 59175
↖ ↑ ↗
← N 17.206394°
E 30.143738°		 ← 291.76 m → N 17.206394°
E 30.146484°		 →
↑
291.73 m
↓
↑
291.73 m
↓
N 17.203770°
E 30.143738°		 ← 291.76 m →
85 114 m²		 N 17.203770°
E 30.146484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583736419677734 y=0.451473236083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583736419677734 × 217)
    floor (0.583736419677734 × 131072)
    floor (76511.5)     		tx = 76511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451473236083984 × 217)
    floor (0.451473236083984 × 131072)
    floor (59175.5)     		ty = 59175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76511 / 59175 ti = "17/76511/59175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76511/59175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76511 ÷ 217
    76511 ÷ 131072     		x = 0.583732604980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59175 ÷ 217
    59175 ÷ 131072     		y = 0.451469421386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583732604980469 × 2 - 1) × π
    0.167465209960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.52610747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451469421386719 × 2 - 1) × π
    0.0970611572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.304926618483177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52610747} λ = 0.52610747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.304926618483177))-π/2
    2×atan(1.35652545545826)-π/2
    2×0.935552272879904-π/2
    1.87110454575981-1.57079632675     		φ = 0.30030822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52610747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.143738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30030822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.206394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76511 KachelY 59175 0.52610747 0.30030822 30.143738 17.206394
    Oben rechts KachelX + 1 76512 KachelY 59175 0.52615541 0.30030822 30.146484 17.206394
    Unten links KachelX 76511 KachelY + 1 59176 0.52610747 0.30026243 30.143738 17.203770
    Unten rechts KachelX + 1 76512 KachelY + 1 59176 0.52615541 0.30026243 30.146484 17.203770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30030822-0.30026243) × R
    4.578999999999e-05 × 6371000     		dl = 291.728089999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30030822-0.30026243) × R
    4.578999999999e-05 × 6371000     		dr = 291.728089999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52610747-0.52615541) × cos(0.30030822) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.955245358510674 × 6371000     		do = 291.756520504497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52610747-0.52615541) × cos(0.30026243) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.955258902861887 × 6371000     		du = 291.760657297989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30030822)-sin(0.30026243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955245358510674-0.955258902861887)×R²
    abs(0.52615541-0.52610747)×1.354435121248e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.354435121248e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.354435121248e-05×40589641000000     		ar = 85114.1758961148m²