Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76506 / 59257
↖ ↑ ↗
← N 16.991129°
E 30.130005°		 ← 292.09 m → N 16.991129°
E 30.132752°		 →
↑
292.05 m
↓
↑
292.05 m
↓
N 16.988502°
E 30.130005°		 ← 292.10 m →
85 306 m²		 N 16.988502°
E 30.132752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583698272705078 y=0.452098846435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583698272705078 × 217)
    floor (0.583698272705078 × 131072)
    floor (76506.5)     		tx = 76506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452098846435547 × 217)
    floor (0.452098846435547 × 131072)
    floor (59257.5)     		ty = 59257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76506 / 59257 ti = "17/76506/59257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76506/59257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76506 ÷ 217
    76506 ÷ 131072     		x = 0.583694458007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59257 ÷ 217
    59257 ÷ 131072     		y = 0.452095031738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583694458007812 × 2 - 1) × π
    0.167388916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52586779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452095031738281 × 2 - 1) × π
    0.0958099365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.300995792714333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52586779} λ = 0.52586779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.300995792714333))-π/2
    2×atan(1.35120365662628)-π/2
    2×0.933673733792479-π/2
    1.86734746758496-1.57079632675     		φ = 0.29655114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52586779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.130005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29655114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.991129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76506 KachelY 59257 0.52586779 0.29655114 30.130005 16.991129
    Oben rechts KachelX + 1 76507 KachelY 59257 0.52591573 0.29655114 30.132752 16.991129
    Unten links KachelX 76506 KachelY + 1 59258 0.52586779 0.29650530 30.130005 16.988502
    Unten rechts KachelX + 1 76507 KachelY + 1 59258 0.52591573 0.29650530 30.132752 16.988502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29655114-0.29650530) × R
    4.58399999999637e-05 × 6371000     		dl = 292.046639999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29655114-0.29650530) × R
    4.58399999999637e-05 × 6371000     		dr = 292.046639999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52586779-0.52591573) × cos(0.29655114) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.956350013241104 × 6371000     		do = 292.093910493659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52586779-0.52591573) × cos(0.29650530) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.956363407767683 × 6371000     		du = 292.098001526851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29655114)-sin(0.29650530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956350013241104-0.956363407767683)×R²
    abs(0.52591573-0.52586779)×1.33945265785584e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.33945265785584e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.33945265785584e-05×40589641000000     		ar = 85305.642525272m²