Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76503 / 59140
↖ ↑ ↗
← N 17.298199°
E 30.121765°		 ← 291.61 m → N 17.298199°
E 30.124512°		 →
↑
291.60 m
↓
↑
291.60 m
↓
N 17.295576°
E 30.121765°		 ← 291.62 m →
85 035 m²		 N 17.295576°
E 30.124512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583675384521484 y=0.451206207275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583675384521484 × 217)
    floor (0.583675384521484 × 131072)
    floor (76503.5)     		tx = 76503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451206207275391 × 217)
    floor (0.451206207275391 × 131072)
    floor (59140.5)     		ty = 59140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76503 / 59140 ti = "17/76503/59140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76503/59140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76503 ÷ 217
    76503 ÷ 131072     		x = 0.583671569824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59140 ÷ 217
    59140 ÷ 131072     		y = 0.451202392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583671569824219 × 2 - 1) × π
    0.167343139648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.52572398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451202392578125 × 2 - 1) × π
    0.09759521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.306604409969879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52572398} λ = 0.52572398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.306604409969879))-π/2
    2×atan(1.35880333268609)-π/2
    2×0.936353424973869-π/2
    1.87270684994774-1.57079632675     		φ = 0.30191052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52572398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.121765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30191052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.298199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76503 KachelY 59140 0.52572398 0.30191052 30.121765 17.298199
    Oben rechts KachelX + 1 76504 KachelY 59140 0.52577192 0.30191052 30.124512 17.298199
    Unten links KachelX 76503 KachelY + 1 59141 0.52572398 0.30186475 30.121765 17.295576
    Unten rechts KachelX + 1 76504 KachelY + 1 59141 0.52577192 0.30186475 30.124512 17.295576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30191052-0.30186475) × R
    4.57700000000005e-05 × 6371000     		dl = 291.600670000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30191052-0.30186475) × R
    4.57700000000005e-05 × 6371000     		dr = 291.600670000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52572398-0.52577192) × cos(0.30191052) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.954770148673885 × 6371000     		do = 291.61137918844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52572398-0.52577192) × cos(0.30186475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.954783757147854 × 6371000     		du = 291.615535566672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30191052)-sin(0.30186475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954770148673885-0.954783757147854)×R²
    abs(0.52577192-0.52572398)×1.3608473969251e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3608473969251e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3608473969251e-05×40589641000000     		ar = 85034.679567149m²