Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76502 / 59141
↖ ↑ ↗
← N 17.295576°
E 30.119018°		 ← 291.62 m → N 17.295576°
E 30.121765°		 →
↑
291.60 m
↓
↑
291.60 m
↓
N 17.292954°
E 30.119018°		 ← 291.62 m →
85 036 m²		 N 17.292954°
E 30.121765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583667755126953 y=0.451213836669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583667755126953 × 217)
    floor (0.583667755126953 × 131072)
    floor (76502.5)     		tx = 76502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451213836669922 × 217)
    floor (0.451213836669922 × 131072)
    floor (59141.5)     		ty = 59141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76502 / 59141 ti = "17/76502/59141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76502/59141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76502 ÷ 217
    76502 ÷ 131072     		x = 0.583663940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59141 ÷ 217
    59141 ÷ 131072     		y = 0.451210021972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583663940429688 × 2 - 1) × π
    0.167327880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52567604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451210021972656 × 2 - 1) × π
    0.0975799560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.306556473070259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52567604} λ = 0.52567604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.306556473070259))-π/2
    2×atan(1.35873819742833)-π/2
    2×0.936330540450416-π/2
    1.87266108090083-1.57079632675     		φ = 0.30186475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52567604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.119018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30186475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.295576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76502 KachelY 59141 0.52567604 0.30186475 30.119018 17.295576
    Oben rechts KachelX + 1 76503 KachelY 59141 0.52572398 0.30186475 30.121765 17.295576
    Unten links KachelX 76502 KachelY + 1 59142 0.52567604 0.30181898 30.119018 17.292954
    Unten rechts KachelX + 1 76503 KachelY + 1 59142 0.52572398 0.30181898 30.121765 17.292954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30186475-0.30181898) × R
    4.57700000000005e-05 × 6371000     		dl = 291.600670000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30186475-0.30181898) × R
    4.57700000000005e-05 × 6371000     		dr = 291.600670000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52567604-0.52572398) × cos(0.30186475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.954783757147854 × 6371000     		do = 291.615535566672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52567604-0.52572398) × cos(0.30181898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.954797363621654 × 6371000     		du = 291.619691334001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30186475)-sin(0.30181898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954783757147854-0.954797363621654)×R²
    abs(0.52572398-0.52567604)×1.36064737995545e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.36064737995545e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.36064737995545e-05×40589641000000     		ar = 85035.8914807533m²