Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76501 / 59261
↖ ↑ ↗
← N 16.980622°
E 30.116272°		 ← 292.11 m → N 16.980622°
E 30.119018°		 →
↑
292.11 m
↓
↑
292.11 m
↓
N 16.977995°
E 30.116272°		 ← 292.11 m →
85 329 m²		 N 16.977995°
E 30.119018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583660125732422 y=0.452129364013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583660125732422 × 217)
    floor (0.583660125732422 × 131072)
    floor (76501.5)     		tx = 76501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452129364013672 × 217)
    floor (0.452129364013672 × 131072)
    floor (59261.5)     		ty = 59261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76501 / 59261 ti = "17/76501/59261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76501/59261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76501 ÷ 217
    76501 ÷ 131072     		x = 0.583656311035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59261 ÷ 217
    59261 ÷ 131072     		y = 0.452125549316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583656311035156 × 2 - 1) × π
    0.167312622070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.52562810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452125549316406 × 2 - 1) × π
    0.0957489013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.300804045115852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52562810} λ = 0.52562810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.300804045115852))-π/2
    2×atan(1.35094459140842)-π/2
    2×0.933582042314984-π/2
    1.86716408462997-1.57079632675     		φ = 0.29636776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52562810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.116272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29636776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.980622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76501 KachelY 59261 0.52562810 0.29636776 30.116272 16.980622
    Oben rechts KachelX + 1 76502 KachelY 59261 0.52567604 0.29636776 30.119018 16.980622
    Unten links KachelX 76501 KachelY + 1 59262 0.52562810 0.29632191 30.116272 16.977995
    Unten rechts KachelX + 1 76502 KachelY + 1 59262 0.52567604 0.29632191 30.119018 16.977995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29636776-0.29632191) × R
    4.58499999999584e-05 × 6371000     		dl = 292.110349999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29636776-0.29632191) × R
    4.58499999999584e-05 × 6371000     		dr = 292.110349999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52562810-0.52567604) × cos(0.29636776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.956403585130601 × 6371000     		do = 292.110272726975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52562810-0.52567604) × cos(0.29632191) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.956416974537731 × 6371000     		du = 292.114362196556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29636776)-sin(0.29632191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956403585130601-0.956416974537731)×R²
    abs(0.52567604-0.52562810)×1.33894071299157e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33894071299157e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33894071299157e-05×40589641000000     		ar = 85329.0313079764m²