Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76500 / 59220
↖ ↑ ↗
← N 17.088291°
E 30.113526°		 ← 291.88 m → N 17.088291°
E 30.116272°		 →
↑
291.98 m
↓
↑
291.98 m
↓
N 17.085666°
E 30.113526°		 ← 291.89 m →
85 225 m²		 N 17.085666°
E 30.116272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583652496337891 y=0.451816558837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583652496337891 × 217)
    floor (0.583652496337891 × 131072)
    floor (76500.5)     		tx = 76500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451816558837891 × 217)
    floor (0.451816558837891 × 131072)
    floor (59220.5)     		ty = 59220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76500 / 59220 ti = "17/76500/59220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76500/59220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76500 ÷ 217
    76500 ÷ 131072     		x = 0.583648681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59220 ÷ 217
    59220 ÷ 131072     		y = 0.451812744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583648681640625 × 2 - 1) × π
    0.16729736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52558017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451812744140625 × 2 - 1) × π
    0.09637451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.302769458000275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52558017} λ = 0.52558017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.302769458000275))-π/2
    2×atan(1.35360236627145)-π/2
    2×0.93452163603979-π/2
    1.86904327207958-1.57079632675     		φ = 0.29824695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52558017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.113526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29824695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.088291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76500 KachelY 59220 0.52558017 0.29824695 30.113526 17.088291
    Oben rechts KachelX + 1 76501 KachelY 59220 0.52562810 0.29824695 30.116272 17.088291
    Unten links KachelX 76500 KachelY + 1 59221 0.52558017 0.29820112 30.113526 17.085666
    Unten rechts KachelX + 1 76501 KachelY + 1 59221 0.52562810 0.29820112 30.116272 17.085666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29824695-0.29820112) × R
    4.58300000000245e-05 × 6371000     		dl = 291.982930000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29824695-0.29820112) × R
    4.58300000000245e-05 × 6371000     		dr = 291.982930000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52558017-0.52562810) × cos(0.29824695) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.955853082596369 × 6371000     		do = 291.881237683563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52558017-0.52562810) × cos(0.29820112) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.955866548508919 × 6371000     		du = 291.885349661956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29824695)-sin(0.29820112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955853082596369-0.955866548508919)×R²
    abs(0.52562810-0.52558017)×1.34659125500258e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34659125500258e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34659125500258e-05×40589641000000     		ar = 85224.9393195491m²