Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7650 / 1764
↖ ↑ ↗
← N 71.016960°
E156.181641°		 ← 1 589.52 m → N 71.016960°
E156.225586°		 →
↑
1 590.07 m
↓
↑
1 590.07 m
↓
N 71.002660°
E156.181641°		 ← 1 590.67 m →
2 528 370 m²		 N 71.002660°
E156.225586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93389892578125 y=0.21539306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93389892578125 × 213)
    floor (0.93389892578125 × 8192)
    floor (7650.5)     		tx = 7650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21539306640625 × 213)
    floor (0.21539306640625 × 8192)
    floor (1764.5)     		ty = 1764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7650 / 1764 ti = "13/7650/1764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7650/1764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7650 ÷ 213
    7650 ÷ 8192     		x = 0.933837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1764 ÷ 213
    1764 ÷ 8192     		y = 0.21533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.933837890625 × 2 - 1) × π
    0.86767578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.72588386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21533203125 × 2 - 1) × π
    0.5693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78862159862354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72588386} λ = 2.72588386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78862159862354))-π/2
    2×atan(5.98120228419669)-π/2
    2×1.40513804964942-π/2
    2.81027609929883-1.57079632675     		φ = 1.23947977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72588386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.181641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23947977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.016960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7650 KachelY 1764 2.72588386 1.23947977 156.181641 71.016960
    Oben rechts KachelX + 1 7651 KachelY 1764 2.72665085 1.23947977 156.225586 71.016960
    Unten links KachelX 7650 KachelY + 1 1765 2.72588386 1.23923019 156.181641 71.002660
    Unten rechts KachelX + 1 7651 KachelY + 1 1765 2.72665085 1.23923019 156.225586 71.002660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23947977-1.23923019) × R
    0.000249579999999971 × 6371000     		dl = 1590.07417999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23947977-1.23923019) × R
    0.000249579999999971 × 6371000     		dr = 1590.07417999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72588386-2.72665085) × cos(1.23947977) × R
    0.000766989999999801 × 0.325288265675305 × 6371000     		do = 1589.5189275377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72588386-2.72665085) × cos(1.23923019) × R
    0.000766989999999801 × 0.32552426210914 × 6371000     		du = 1590.6721225281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23947977)-sin(1.23923019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325288265675305-0.32552426210914)×R²
    abs(2.72665085-2.72588386)×0.000235996433834762×R²
    0.000766989999999801×0.000235996433834762×6371000²
    0.000766989999999801×0.000235996433834762×40589641000000     		ar = 2528369.85121094m²