Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 765 / 813
↖ ↑ ↗
← S 72.073911°
E 88.945313°		 ← 12.032 km → S 72.073911°
E 89.296875°		 →
↑
11.997 km
↓
↑
11.997 km
↓
S 72.181803°
E 88.945313°		 ← 11.962 km →
143.929 km²		 S 72.181803°
E 89.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74755859375 y=0.79443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74755859375 × 210)
    floor (0.74755859375 × 1024)
    floor (765.5)     		tx = 765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79443359375 × 210)
    floor (0.79443359375 × 1024)
    floor (813.5)     		ty = 813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 765 / 813 ti = "10/765/813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/765/813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 765 ÷ 210
    765 ÷ 1024     		x = 0.7470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 813 ÷ 210
    813 ÷ 1024     		y = 0.7939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7470703125 × 2 - 1) × π
    0.494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55238856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7939453125 × 2 - 1) × π
    -0.587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.84691286856152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55238856} λ = 1.55238856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84691286856152))-π/2
    2×atan(0.157723328149687)-π/2
    2×0.156434633275511-π/2
    0.312869266551022-1.57079632675     		φ = -1.25792706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55238856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.945313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25792706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.073911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 765 KachelY 813 1.55238856 -1.25792706 88.945313 -72.073911
    Oben rechts KachelX + 1 766 KachelY 813 1.55852448 -1.25792706 89.296875 -72.073911
    Unten links KachelX 765 KachelY + 1 814 1.55238856 -1.25981013 88.945313 -72.181803
    Unten rechts KachelX + 1 766 KachelY + 1 814 1.55852448 -1.25981013 89.296875 -72.181803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25792706--1.25981013) × R
    0.00188306999999988 × 6371000     		dl = 11997.0389699992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25792706--1.25981013) × R
    0.00188306999999988 × 6371000     		dr = 11997.0389699992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55238856-1.55852448) × cos(-1.25792706) × R
    0.00613591999999996 × 0.307789876057852 × 6371000     		do = 12032.1053126929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55238856-1.55852448) × cos(-1.25981013) × R
    0.00613591999999996 × 0.305997676257917 × 6371000     		du = 11962.0447343191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25792706)-sin(-1.25981013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307789876057852-0.305997676257917)×R²
    abs(1.55852448-1.55238856)×0.00179219979993533×R²
    0.00613591999999996×0.00179219979993533×6371000²
    0.00613591999999996×0.00179219979993533×40589641000000     		ar = 143929419.113573m²