Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 765 / 789
↖ ↑ ↗
← S 69.287257°
E 88.945313°		 ← 13.826 km → S 69.287257°
E 89.296875°		 →
↑
13.787 km
↓
↑
13.787 km
↓
S 69.411243°
E 88.945313°		 ← 13.747 km →
190.070 km²		 S 69.411243°
E 89.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74755859375 y=0.77099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74755859375 × 210)
    floor (0.74755859375 × 1024)
    floor (765.5)     		tx = 765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77099609375 × 210)
    floor (0.77099609375 × 1024)
    floor (789.5)     		ty = 789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 765 / 789 ti = "10/765/789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/765/789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 765 ÷ 210
    765 ÷ 1024     		x = 0.7470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 789 ÷ 210
    789 ÷ 1024     		y = 0.7705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7470703125 × 2 - 1) × π
    0.494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55238856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7705078125 × 2 - 1) × π
    -0.541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69965071292871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55238856} λ = 1.55238856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69965071292871))-π/2
    2×atan(0.18274734419095)-π/2
    2×0.180752781664976-π/2
    0.361505563329953-1.57079632675     		φ = -1.20929076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55238856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.945313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20929076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.287257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 765 KachelY 789 1.55238856 -1.20929076 88.945313 -69.287257
    Oben rechts KachelX + 1 766 KachelY 789 1.55852448 -1.20929076 89.296875 -69.287257
    Unten links KachelX 765 KachelY + 1 790 1.55238856 -1.21145472 88.945313 -69.411243
    Unten rechts KachelX + 1 766 KachelY + 1 790 1.55852448 -1.21145472 89.296875 -69.411243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20929076--1.21145472) × R
    0.00216396000000008 × 6371000     		dl = 13786.5891600005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20929076--1.21145472) × R
    0.00216396000000008 × 6371000     		dr = 13786.5891600005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55238856-1.55852448) × cos(-1.20929076) × R
    0.00613591999999996 × 0.353682888668491 × 6371000     		do = 13826.1524981311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55238856-1.55852448) × cos(-1.21145472) × R
    0.00613591999999996 × 0.351657968858022 × 6371000     		du = 13746.9944415979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20929076)-sin(-1.21145472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353682888668491-0.351657968858022)×R²
    abs(1.55852448-1.55238856)×0.00202491981046926×R²
    0.00613591999999996×0.00202491981046926×6371000²
    0.00613591999999996×0.00202491981046926×40589641000000     		ar = 190069898.52358m²