Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76499 / 58541
↖ ↑ ↗
← N 18.862108°
E 30.110779°		 ← 289.02 m → N 18.862108°
E 30.113526°		 →
↑
289.05 m
↓
↑
289.05 m
↓
N 18.859509°
E 30.110779°		 ← 289.03 m →
83 544 m²		 N 18.859509°
E 30.113526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583644866943359 y=0.446636199951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583644866943359 × 217)
    floor (0.583644866943359 × 131072)
    floor (76499.5)     		tx = 76499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446636199951172 × 217)
    floor (0.446636199951172 × 131072)
    floor (58541.5)     		ty = 58541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76499 / 58541 ti = "17/76499/58541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76499/58541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76499 ÷ 217
    76499 ÷ 131072     		x = 0.583641052246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58541 ÷ 217
    58541 ÷ 131072     		y = 0.446632385253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583641052246094 × 2 - 1) × π
    0.167282104492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.52553223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446632385253906 × 2 - 1) × π
    0.106735229492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.335318612842293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52553223} λ = 0.52553223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.335318612842293))-π/2
    2×atan(1.39838585794486)-π/2
    2×0.950001105965489-π/2
    1.90000221193098-1.57079632675     		φ = 0.32920589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52553223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.110779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32920589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.862108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76499 KachelY 58541 0.52553223 0.32920589 30.110779 18.862108
    Oben rechts KachelX + 1 76500 KachelY 58541 0.52558017 0.32920589 30.113526 18.862108
    Unten links KachelX 76499 KachelY + 1 58542 0.52553223 0.32916052 30.110779 18.859509
    Unten rechts KachelX + 1 76500 KachelY + 1 58542 0.52558017 0.32916052 30.113526 18.859509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32920589-0.32916052) × R
    4.5369999999989e-05 × 6371000     		dl = 289.05226999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32920589-0.32916052) × R
    4.5369999999989e-05 × 6371000     		dr = 289.05226999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52553223-0.52558017) × cos(0.32920589) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.946299371018427 × 6371000     		do = 289.024185654648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52553223-0.52558017) × cos(0.32916052) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.946314037787297 × 6371000     		du = 289.028665263384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32920589)-sin(0.32916052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946299371018427-0.946314037787297)×R²
    abs(0.52558017-0.52553223)×1.46667688697422e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46667688697422e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46667688697422e-05×40589641000000     		ar = 83543.7443832362m²