Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76496 / 59184
↖ ↑ ↗
← N 17.182779°
E 30.102539°		 ← 291.79 m → N 17.182779°
E 30.105286°		 →
↑
291.79 m
↓
↑
291.79 m
↓
N 17.180155°
E 30.102539°		 ← 291.80 m →
85 144 m²		 N 17.180155°
E 30.105286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583621978759766 y=0.451541900634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583621978759766 × 217)
    floor (0.583621978759766 × 131072)
    floor (76496.5)     		tx = 76496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451541900634766 × 217)
    floor (0.451541900634766 × 131072)
    floor (59184.5)     		ty = 59184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76496 / 59184 ti = "17/76496/59184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76496/59184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76496 ÷ 217
    76496 ÷ 131072     		x = 0.5836181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59184 ÷ 217
    59184 ÷ 131072     		y = 0.4515380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5836181640625 × 2 - 1) × π
    0.167236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52538842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4515380859375 × 2 - 1) × π
    0.096923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.304495186386597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52538842} λ = 0.52538842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.304495186386597))-π/2
    2×atan(1.35594033306632)-π/2
    2×0.935346197982021-π/2
    1.87069239596404-1.57079632675     		φ = 0.29989607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52538842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.102539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29989607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.182779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76496 KachelY 59184 0.52538842 0.29989607 30.102539 17.182779
    Oben rechts KachelX + 1 76497 KachelY 59184 0.52543636 0.29989607 30.105286 17.182779
    Unten links KachelX 76496 KachelY + 1 59185 0.52538842 0.29985027 30.102539 17.180155
    Unten rechts KachelX + 1 76497 KachelY + 1 59185 0.52543636 0.29985027 30.105286 17.180155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29989607-0.29985027) × R
    4.58000000000403e-05 × 6371000     		dl = 291.791800000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29989607-0.29985027) × R
    4.58000000000403e-05 × 6371000     		dr = 291.791800000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52538842-0.52543636) × cos(0.29989607) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.955367197381122 × 6371000     		do = 291.79373323234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52538842-0.52543636) × cos(0.29985027) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.955380726657105 × 6371000     		du = 291.797865421468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29989607)-sin(0.29985027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955367197381122-0.955380726657105)×R²
    abs(0.52543636-0.52538842)×1.35292759830818e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.35292759830818e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.35292759830818e-05×40589641000000     		ar = 85143.6215329758m²