Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76496 / 59152
↖ ↑ ↗
← N 17.266728°
E 30.102539°		 ← 291.66 m → N 17.266728°
E 30.105286°		 →
↑
291.66 m
↓
↑
291.66 m
↓
N 17.264105°
E 30.102539°		 ← 291.67 m →
85 068 m²		 N 17.264105°
E 30.105286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583621978759766 y=0.451297760009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583621978759766 × 217)
    floor (0.583621978759766 × 131072)
    floor (76496.5)     		tx = 76496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451297760009766 × 217)
    floor (0.451297760009766 × 131072)
    floor (59152.5)     		ty = 59152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76496 / 59152 ti = "17/76496/59152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76496/59152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76496 ÷ 217
    76496 ÷ 131072     		x = 0.5836181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59152 ÷ 217
    59152 ÷ 131072     		y = 0.4512939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5836181640625 × 2 - 1) × π
    0.167236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52538842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4512939453125 × 2 - 1) × π
    0.097412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.306029167174438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52538842} λ = 0.52538842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.306029167174438))-π/2
    2×atan(1.35802191563235)-π/2
    2×0.936078789176346-π/2
    1.87215757835269-1.57079632675     		φ = 0.30136125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52538842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.102539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30136125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.266728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76496 KachelY 59152 0.52538842 0.30136125 30.102539 17.266728
    Oben rechts KachelX + 1 76497 KachelY 59152 0.52543636 0.30136125 30.105286 17.266728
    Unten links KachelX 76496 KachelY + 1 59153 0.52538842 0.30131547 30.102539 17.264105
    Unten rechts KachelX + 1 76497 KachelY + 1 59153 0.52543636 0.30131547 30.105286 17.264105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30136125-0.30131547) × R
    4.57800000000508e-05 × 6371000     		dl = 291.664380000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30136125-0.30131547) × R
    4.57800000000508e-05 × 6371000     		dr = 291.664380000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52538842-0.52543636) × cos(0.30136125) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.954933327248658 × 6371000     		do = 291.661218126068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52538842-0.52543636) × cos(0.30131547) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.954946914685166 × 6371000     		du = 291.665368078918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30136125)-sin(0.30131547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954933327248658-0.954946914685166)×R²
    abs(0.52543636-0.52538842)×1.35874365079225e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.35874365079225e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.35874365079225e-05×40589641000000     		ar = 85067.7935663831m²