Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7649 / 7140
↖ ↑ ↗
← N 70.714471°
W 95.965576°		 ← 403.46 m → N 70.714471°
W 95.954590°		 →
↑
403.48 m
↓
↑
403.48 m
↓
N 70.710842°
W 95.965576°		 ← 403.53 m →
162 800 m²		 N 70.710842°
W 95.954590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.233444213867188 y=0.217910766601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.233444213867188 × 215)
    floor (0.233444213867188 × 32768)
    floor (7649.5)     		tx = 7649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217910766601562 × 215)
    floor (0.217910766601562 × 32768)
    floor (7140.5)     		ty = 7140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7649 / 7140 ti = "15/7649/7140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7649/7140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7649 ÷ 215
    7649 ÷ 32768     		x = 0.233428955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7140 ÷ 215
    7140 ÷ 32768     		y = 0.2178955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.233428955078125 × 2 - 1) × π
    -0.53314208984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.67491527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2178955078125 × 2 - 1) × π
    0.564208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7725148003512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67491527} λ = -1.67491527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7725148003512))-π/2
    2×atan(5.88563596533573)-π/2
    2×1.40249833405564-π/2
    2.80499666811129-1.57079632675     		φ = 1.23420034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67491527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.965576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23420034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.714471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7649 KachelY 7140 -1.67491527 1.23420034 -95.965576 70.714471
    Oben rechts KachelX + 1 7650 KachelY 7140 -1.67472353 1.23420034 -95.954590 70.714471
    Unten links KachelX 7649 KachelY + 1 7141 -1.67491527 1.23413701 -95.965576 70.710842
    Unten rechts KachelX + 1 7650 KachelY + 1 7141 -1.67472353 1.23413701 -95.954590 70.710842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23420034-1.23413701) × R
    6.33299999999171e-05 × 6371000     		dl = 403.475429999472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23420034-1.23413701) × R
    6.33299999999171e-05 × 6371000     		dr = 403.475429999472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67491527--1.67472353) × cos(1.23420034) × R
    0.000191739999999996 × 0.330276016901136 × 6371000     		do = 403.457103695045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67491527--1.67472353) × cos(1.23413701) × R
    0.000191739999999996 × 0.330335792437566 × 6371000     		du = 403.530124028238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23420034)-sin(1.23413701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330276016901136-0.330335792437566)×R²
    abs(-1.67472353--1.67491527)×5.97755364296626e-05×R²
    0.000191739999999996×5.97755364296626e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.97755364296626e-05×40589641000000     		ar = 162799.759409475m²