Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7649 / 5092
↖ ↑ ↗
← N 56.121060°
W 11.931152°		 ← 1 361.95 m → N 56.121060°
W 11.909180°		 →
↑
1 362.18 m
↓
↑
1 362.18 m
↓
N 56.108810°
W 11.931152°		 ← 1 362.38 m →
1 855 515 m²		 N 56.108810°
W 11.909180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466888427734375 y=0.310821533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466888427734375 × 214)
    floor (0.466888427734375 × 16384)
    floor (7649.5)     		tx = 7649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310821533203125 × 214)
    floor (0.310821533203125 × 16384)
    floor (5092.5)     		ty = 5092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7649 / 5092 ti = "14/7649/5092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7649/5092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7649 ÷ 214
    7649 ÷ 16384     		x = 0.46685791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5092 ÷ 214
    5092 ÷ 16384     		y = 0.310791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46685791015625 × 2 - 1) × π
    -0.0662841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20823789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310791015625 × 2 - 1) × π
    0.37841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18883511057739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20823789} λ = -0.20823789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18883511057739))-π/2
    2×atan(3.28325435061861)-π/2
    2×1.27514680545183-π/2
    2.55029361090366-1.57079632675     		φ = 0.97949728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20823789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.931152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97949728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.121060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7649 KachelY 5092 -0.20823789 0.97949728 -11.931152 56.121060
    Oben rechts KachelX + 1 7650 KachelY 5092 -0.20785440 0.97949728 -11.909180 56.121060
    Unten links KachelX 7649 KachelY + 1 5093 -0.20823789 0.97928347 -11.931152 56.108810
    Unten rechts KachelX + 1 7650 KachelY + 1 5093 -0.20785440 0.97928347 -11.909180 56.108810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97949728-0.97928347) × R
    0.000213809999999981 × 6371000     		dl = 1362.18350999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97949728-0.97928347) × R
    0.000213809999999981 × 6371000     		dr = 1362.18350999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20823789--0.20785440) × cos(0.97949728) × R
    0.000383490000000014 × 0.557439983999297 × 6371000     		do = 1361.9456134445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20823789--0.20785440) × cos(0.97928347) × R
    0.000383490000000014 × 0.557617480004249 × 6371000     		du = 1362.37927430896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97949728)-sin(0.97928347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557439983999297-0.557617480004249)×R²
    abs(-0.20785440--0.20823789)×0.000177496004952316×R²
    0.000383490000000014×0.000177496004952316×6371000²
    0.000383490000000014×0.000177496004952316×40589641000000     		ar = 1855515.22605847m²