Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7649 / 4037
↖ ↑ ↗
← N 67.024587°
W 11.931152°		 ← 953.67 m → N 67.024587°
W 11.909180°		 →
↑
953.87 m
↓
↑
953.87 m
↓
N 67.016009°
W 11.931152°		 ← 954.01 m →
909 839 m²		 N 67.016009°
W 11.909180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466888427734375 y=0.246429443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466888427734375 × 214)
    floor (0.466888427734375 × 16384)
    floor (7649.5)     		tx = 7649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246429443359375 × 214)
    floor (0.246429443359375 × 16384)
    floor (4037.5)     		ty = 4037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7649 / 4037 ti = "14/7649/4037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7649/4037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7649 ÷ 214
    7649 ÷ 16384     		x = 0.46685791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4037 ÷ 214
    4037 ÷ 16384     		y = 0.24639892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46685791015625 × 2 - 1) × π
    -0.0662841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20823789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24639892578125 × 2 - 1) × π
    0.5072021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.59342254337067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20823789} λ = -0.20823789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59342254337067))-π/2
    2×atan(4.92056097528153)-π/2
    2×1.37029802995262-π/2
    2.74059605990524-1.57079632675     		φ = 1.16979973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20823789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.931152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16979973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.024587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7649 KachelY 4037 -0.20823789 1.16979973 -11.931152 67.024587
    Oben rechts KachelX + 1 7650 KachelY 4037 -0.20785440 1.16979973 -11.909180 67.024587
    Unten links KachelX 7649 KachelY + 1 4038 -0.20823789 1.16965001 -11.931152 67.016009
    Unten rechts KachelX + 1 7650 KachelY + 1 4038 -0.20785440 1.16965001 -11.909180 67.016009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16979973-1.16965001) × R
    0.00014972000000002 × 6371000     		dl = 953.866120000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16979973-1.16965001) × R
    0.00014972000000002 × 6371000     		dr = 953.866120000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20823789--0.20785440) × cos(1.16979973) × R
    0.000383490000000014 × 0.39033607520509 × 6371000     		do = 953.674872011663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20823789--0.20785440) × cos(1.16965001) × R
    0.000383490000000014 × 0.390473913907928 × 6371000     		du = 954.011641569071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16979973)-sin(1.16965001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39033607520509-0.390473913907928)×R²
    abs(-0.20785440--0.20823789)×0.000137838702837956×R²
    0.000383490000000014×0.000137838702837956×6371000²
    0.000383490000000014×0.000137838702837956×40589641000000     		ar = 909838.768141214m²