Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 7649 / 10657
↖ ↑ ↗
← N 76.309057°
W137.982788°		 ← 144.56 m → N 76.309057°
W137.977295°		 →
↑
144.56 m
↓
↑
144.56 m
↓
N 76.307757°
W137.982788°		 ← 144.58 m →
20 899 m²		 N 76.307757°
W137.977295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.116722106933594 y=0.162620544433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.116722106933594 × 216)
    floor (0.116722106933594 × 65536)
    floor (7649.5)     		tx = 7649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162620544433594 × 216)
    floor (0.162620544433594 × 65536)
    floor (10657.5)     		ty = 10657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7649 / 10657 ti = "16/7649/10657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7649/10657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7649 ÷ 216
    7649 ÷ 65536     		x = 0.116714477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10657 ÷ 216
    10657 ÷ 65536     		y = 0.162612915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.116714477539062 × 2 - 1) × π
    -0.766571044921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.40825396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162612915039062 × 2 - 1) × π
    0.674774169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11986557499812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40825396} λ = -2.40825396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11986557499812))-π/2
    2×atan(8.33001764978407)-π/2
    2×1.45132031424466-π/2
    2.90264062848932-1.57079632675     		φ = 1.33184430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40825396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.982788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33184430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.309057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7649 KachelY 10657 -2.40825396 1.33184430 -137.982788 76.309057
    Oben rechts KachelX + 1 7650 KachelY 10657 -2.40815809 1.33184430 -137.977295 76.309057
    Unten links KachelX 7649 KachelY + 1 10658 -2.40825396 1.33182161 -137.982788 76.307757
    Unten rechts KachelX + 1 7650 KachelY + 1 10658 -2.40815809 1.33182161 -137.977295 76.307757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33184430-1.33182161) × R
    2.26899999999919e-05 × 6371000     		dl = 144.557989999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33184430-1.33182161) × R
    2.26899999999919e-05 × 6371000     		dr = 144.557989999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40825396--2.40815809) × cos(1.33184430) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.236684559914529 × 6371000     		do = 144.564034543623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40825396--2.40815809) × cos(1.33182161) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.236706605152361 × 6371000     		du = 144.577499505278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33184430)-sin(1.33182161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236684559914529-0.236706605152361)×R²
    abs(-2.40815809--2.40825396)×2.20452378318359e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.20452378318359e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.20452378318359e-05×40589641000000     		ar = 20898.8594944276m²