Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76489 / 59402
↖ ↑ ↗
← N 16.609874°
E 30.083313°		 ← 292.68 m → N 16.609874°
E 30.086060°		 →
↑
292.68 m
↓
↑
292.68 m
↓
N 16.607242°
E 30.083313°		 ← 292.69 m →
85 664 m²		 N 16.607242°
E 30.086060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583568572998047 y=0.453205108642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583568572998047 × 217)
    floor (0.583568572998047 × 131072)
    floor (76489.5)     		tx = 76489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453205108642578 × 217)
    floor (0.453205108642578 × 131072)
    floor (59402.5)     		ty = 59402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76489 / 59402 ti = "17/76489/59402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76489/59402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76489 ÷ 217
    76489 ÷ 131072     		x = 0.583564758300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59402 ÷ 217
    59402 ÷ 131072     		y = 0.453201293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583564758300781 × 2 - 1) × π
    0.167129516601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.52505286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453201293945312 × 2 - 1) × π
    0.093597412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.294044942269424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52505286} λ = 0.52505286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.294044942269424))-π/2
    2×atan(1.34184420783577)-π/2
    2×0.930346657511838-π/2
    1.86069331502368-1.57079632675     		φ = 0.28989699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52505286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.083313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28989699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.609874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76489 KachelY 59402 0.52505286 0.28989699 30.083313 16.609874
    Oben rechts KachelX + 1 76490 KachelY 59402 0.52510080 0.28989699 30.086060 16.609874
    Unten links KachelX 76489 KachelY + 1 59403 0.52505286 0.28985105 30.083313 16.607242
    Unten rechts KachelX + 1 76490 KachelY + 1 59403 0.52510080 0.28985105 30.086060 16.607242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28989699-0.28985105) × R
    4.59400000000221e-05 × 6371000     		dl = 292.683740000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28989699-0.28985105) × R
    4.59400000000221e-05 × 6371000     		dr = 292.683740000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52505286-0.52510080) × cos(0.28989699) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.958273326367361 × 6371000     		do = 292.681339828499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52505286-0.52510080) × cos(0.28985105) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.958286457466621 × 6371000     		du = 292.685350404207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28989699)-sin(0.28985105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958273326367361-0.958286457466621)×R²
    abs(0.52510080-0.52505286)×1.3131099259267e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.3131099259267e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.3131099259267e-05×40589641000000     		ar = 85663.6560994939m²