Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76488 / 59342
↖ ↑ ↗
← N 16.767727°
E 30.080566°		 ← 292.44 m → N 16.767727°
E 30.083313°		 →
↑
292.43 m
↓
↑
292.43 m
↓
N 16.765097°
E 30.080566°		 ← 292.44 m →
85 518 m²		 N 16.765097°
E 30.083313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583560943603516 y=0.452747344970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583560943603516 × 217)
    floor (0.583560943603516 × 131072)
    floor (76488.5)     		tx = 76488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452747344970703 × 217)
    floor (0.452747344970703 × 131072)
    floor (59342.5)     		ty = 59342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76488 / 59342 ti = "17/76488/59342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76488/59342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76488 ÷ 217
    76488 ÷ 131072     		x = 0.58355712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59342 ÷ 217
    59342 ÷ 131072     		y = 0.452743530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58355712890625 × 2 - 1) × π
    0.1671142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52500492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452743530273438 × 2 - 1) × π
    0.094512939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.296921156246628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52500492} λ = 0.52500492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.296921156246628))-π/2
    2×atan(1.34570919450145)-π/2
    2×0.931724188972303-π/2
    1.86344837794461-1.57079632675     		φ = 0.29265205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52500492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.080566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29265205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.767727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76488 KachelY 59342 0.52500492 0.29265205 30.080566 16.767727
    Oben rechts KachelX + 1 76489 KachelY 59342 0.52505286 0.29265205 30.083313 16.767727
    Unten links KachelX 76488 KachelY + 1 59343 0.52500492 0.29260615 30.080566 16.765097
    Unten rechts KachelX + 1 76489 KachelY + 1 59343 0.52505286 0.29260615 30.083313 16.765097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29265205-0.29260615) × R
    4.58999999999876e-05 × 6371000     		dl = 292.428899999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29265205-0.29260615) × R
    4.58999999999876e-05 × 6371000     		dr = 292.428899999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52500492-0.52505286) × cos(0.29265205) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.957482146963572 × 6371000     		do = 292.439693272946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52500492-0.52505286) × cos(0.29260615) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.957495387761949 × 6371000     		du = 292.443737353588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29265205)-sin(0.29260615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957482146963572-0.957495387761949)×R²
    abs(0.52505286-0.52500492)×1.32407983770566e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32407983770566e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32407983770566e-05×40589641000000     		ar = 85518.4091382502m²