Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76487 / 57985
↖ ↑ ↗
← N 20.300842°
E 30.077820°		 ← 286.39 m → N 20.300842°
E 30.080566°		 →
↑
286.44 m
↓
↑
286.44 m
↓
N 20.298266°
E 30.077820°		 ← 286.40 m →
82 035 m²		 N 20.298266°
E 30.080566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583553314208984 y=0.442394256591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583553314208984 × 217)
    floor (0.583553314208984 × 131072)
    floor (76487.5)     		tx = 76487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442394256591797 × 217)
    floor (0.442394256591797 × 131072)
    floor (57985.5)     		ty = 57985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76487 / 57985 ti = "17/76487/57985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76487/57985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76487 ÷ 217
    76487 ÷ 131072     		x = 0.583549499511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57985 ÷ 217
    57985 ÷ 131072     		y = 0.442390441894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583549499511719 × 2 - 1) × π
    0.167098999023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.52495699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442390441894531 × 2 - 1) × π
    0.115219116210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.361971529031044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52495699} λ = 0.52495699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361971529031044))-π/2
    2×atan(1.43615805256694)-π/2
    2×0.962556426510192-π/2
    1.92511285302038-1.57079632675     		φ = 0.35431653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52495699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.077820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35431653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.300842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76487 KachelY 57985 0.52495699 0.35431653 30.077820 20.300842
    Oben rechts KachelX + 1 76488 KachelY 57985 0.52500492 0.35431653 30.080566 20.300842
    Unten links KachelX 76487 KachelY + 1 57986 0.52495699 0.35427157 30.077820 20.298266
    Unten rechts KachelX + 1 76488 KachelY + 1 57986 0.52500492 0.35427157 30.080566 20.298266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35431653-0.35427157) × R
    4.49600000000383e-05 × 6371000     		dl = 286.440160000244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35431653-0.35427157) × R
    4.49600000000383e-05 × 6371000     		dr = 286.440160000244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52495699-0.52500492) × cos(0.35431653) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.937883837385806 × 6371000     		do = 286.394112488495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52495699-0.52500492) × cos(0.35427157) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.937899435284292 × 6371000     		du = 286.39887549444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35431653)-sin(0.35427157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937883837385806-0.937899435284292)×R²
    abs(0.52500492-0.52495699)×1.55978984860417e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55978984860417e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55978984860417e-05×40589641000000     		ar = 82035.4575762419m²