Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76487 / 57939
↖ ↑ ↗
← N 20.419291°
E 30.077820°		 ← 286.17 m → N 20.419291°
E 30.080566°		 →
↑
286.25 m
↓
↑
286.25 m
↓
N 20.416717°
E 30.077820°		 ← 286.18 m →
81 918 m²		 N 20.416717°
E 30.080566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583553314208984 y=0.442043304443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583553314208984 × 217)
    floor (0.583553314208984 × 131072)
    floor (76487.5)     		tx = 76487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442043304443359 × 217)
    floor (0.442043304443359 × 131072)
    floor (57939.5)     		ty = 57939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76487 / 57939 ti = "17/76487/57939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76487/57939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76487 ÷ 217
    76487 ÷ 131072     		x = 0.583549499511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57939 ÷ 217
    57939 ÷ 131072     		y = 0.442039489746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583549499511719 × 2 - 1) × π
    0.167098999023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.52495699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442039489746094 × 2 - 1) × π
    0.115921020507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.364176626413567
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52495699} λ = 0.52495699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364176626413567))-π/2
    2×atan(1.43932841512399)-π/2
    2×0.963590092914966-π/2
    1.92718018582993-1.57079632675     		φ = 0.35638386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52495699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.077820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35638386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.419291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76487 KachelY 57939 0.52495699 0.35638386 30.077820 20.419291
    Oben rechts KachelX + 1 76488 KachelY 57939 0.52500492 0.35638386 30.080566 20.419291
    Unten links KachelX 76487 KachelY + 1 57940 0.52495699 0.35633893 30.077820 20.416717
    Unten rechts KachelX + 1 76488 KachelY + 1 57940 0.52500492 0.35633893 30.080566 20.416717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35638386-0.35633893) × R
    4.49299999999986e-05 × 6371000     		dl = 286.249029999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35638386-0.35633893) × R
    4.49299999999986e-05 × 6371000     		dr = 286.249029999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52495699-0.52500492) × cos(0.35638386) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.93716457474156 × 6371000     		do = 286.174476987345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52495699-0.52500492) × cos(0.35633893) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.937180249315649 × 6371000     		du = 286.179263407108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35638386)-sin(0.35633893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93716457474156-0.937180249315649)×R²
    abs(0.52500492-0.52495699)×1.56745740889086e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56745740889086e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56745740889086e-05×40589641000000     		ar = 81917.8515161352m²