Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76485 / 58488
↖ ↑ ↗
← N 18.999803°
E 30.072326°		 ← 288.79 m → N 18.999803°
E 30.075073°		 →
↑
288.80 m
↓
↑
288.80 m
↓
N 18.997206°
E 30.072326°		 ← 288.79 m →
83 401 m²		 N 18.997206°
E 30.075073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583538055419922 y=0.446231842041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583538055419922 × 217)
    floor (0.583538055419922 × 131072)
    floor (76485.5)     		tx = 76485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446231842041016 × 217)
    floor (0.446231842041016 × 131072)
    floor (58488.5)     		ty = 58488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76485 / 58488 ti = "17/76485/58488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76485/58488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76485 ÷ 217
    76485 ÷ 131072     		x = 0.583534240722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58488 ÷ 217
    58488 ÷ 131072     		y = 0.44622802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583534240722656 × 2 - 1) × π
    0.167068481445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.52486111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44622802734375 × 2 - 1) × π
    0.1075439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.337859268522156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52486111} λ = 0.52486111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.337859268522156))-π/2
    2×atan(1.40194319198442)-π/2
    2×0.951202721691239-π/2
    1.90240544338248-1.57079632675     		φ = 0.33160912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52486111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.072326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33160912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.999803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76485 KachelY 58488 0.52486111 0.33160912 30.072326 18.999803
    Oben rechts KachelX + 1 76486 KachelY 58488 0.52490905 0.33160912 30.075073 18.999803
    Unten links KachelX 76485 KachelY + 1 58489 0.52486111 0.33156379 30.072326 18.997206
    Unten rechts KachelX + 1 76486 KachelY + 1 58489 0.52490905 0.33156379 30.075073 18.997206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33160912-0.33156379) × R
    4.53299999999546e-05 × 6371000     		dl = 288.797429999711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33160912-0.33156379) × R
    4.53299999999546e-05 × 6371000     		dr = 288.797429999711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52486111-0.52490905) × cos(0.33160912) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945519694857625 × 6371000     		do = 288.786052486275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52486111-0.52490905) × cos(0.33156379) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945534451743282 × 6371000     		du = 288.790559618997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33160912)-sin(0.33156379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945519694857625-0.945534451743282)×R²
    abs(0.52490905-0.52486111)×1.47568856565528e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47568856565528e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47568856565528e-05×40589641000000     		ar = 83401.3206162898m²