Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76484 / 59348
↖ ↑ ↗
← N 16.751948°
E 30.069580°		 ← 292.40 m → N 16.751948°
E 30.072326°		 →
↑
292.49 m
↓
↑
292.49 m
↓
N 16.749318°
E 30.069580°		 ← 292.41 m →
85 526 m²		 N 16.749318°
E 30.072326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583530426025391 y=0.452793121337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583530426025391 × 217)
    floor (0.583530426025391 × 131072)
    floor (76484.5)     		tx = 76484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452793121337891 × 217)
    floor (0.452793121337891 × 131072)
    floor (59348.5)     		ty = 59348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76484 / 59348 ti = "17/76484/59348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76484/59348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76484 ÷ 217
    76484 ÷ 131072     		x = 0.583526611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59348 ÷ 217
    59348 ÷ 131072     		y = 0.452789306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583526611328125 × 2 - 1) × π
    0.16705322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52481318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452789306640625 × 2 - 1) × π
    0.09442138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.296633534848907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52481318} λ = 0.52481318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.296633534848907))-π/2
    2×atan(1.34532219539929)-π/2
    2×0.931586487084451-π/2
    1.8631729741689-1.57079632675     		φ = 0.29237665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52481318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.069580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29237665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.751948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76484 KachelY 59348 0.52481318 0.29237665 30.069580 16.751948
    Oben rechts KachelX + 1 76485 KachelY 59348 0.52486111 0.29237665 30.072326 16.751948
    Unten links KachelX 76484 KachelY + 1 59349 0.52481318 0.29233074 30.069580 16.749318
    Unten rechts KachelX + 1 76485 KachelY + 1 59349 0.52486111 0.29233074 30.072326 16.749318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29237665-0.29233074) × R
    4.59100000000379e-05 × 6371000     		dl = 292.492610000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29237665-0.29233074) × R
    4.59100000000379e-05 × 6371000     		dr = 292.492610000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52481318-0.52486111) × cos(0.29237665) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.957561561494363 × 6371000     		do = 292.402942268068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52481318-0.52486111) × cos(0.29233074) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.957574793070606 × 6371000     		du = 292.406982689049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29237665)-sin(0.29233074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957561561494363-0.957574793070606)×R²
    abs(0.52486111-0.52481318)×1.32315762423341e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.32315762423341e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.32315762423341e-05×40589641000000     		ar = 85526.290667437m²