Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76484 / 58559
↖ ↑ ↗
← N 18.815317°
E 30.069580°		 ← 289.04 m → N 18.815317°
E 30.072326°		 →
↑
289.05 m
↓
↑
289.05 m
↓
N 18.812718°
E 30.069580°		 ← 289.05 m →
83 550 m²		 N 18.812718°
E 30.072326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583530426025391 y=0.446773529052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583530426025391 × 217)
    floor (0.583530426025391 × 131072)
    floor (76484.5)     		tx = 76484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446773529052734 × 217)
    floor (0.446773529052734 × 131072)
    floor (58559.5)     		ty = 58559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76484 / 58559 ti = "17/76484/58559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76484/58559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76484 ÷ 217
    76484 ÷ 131072     		x = 0.583526611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58559 ÷ 217
    58559 ÷ 131072     		y = 0.446769714355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583526611328125 × 2 - 1) × π
    0.16705322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52481318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446769714355469 × 2 - 1) × π
    0.106460571289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.334455748649132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52481318} λ = 0.52481318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.334455748649132))-π/2
    2×atan(1.39717976128345)-π/2
    2×0.949592785139268-π/2
    1.89918557027854-1.57079632675     		φ = 0.32838924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52481318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.069580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32838924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.815317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76484 KachelY 58559 0.52481318 0.32838924 30.069580 18.815317
    Oben rechts KachelX + 1 76485 KachelY 58559 0.52486111 0.32838924 30.072326 18.815317
    Unten links KachelX 76484 KachelY + 1 58560 0.52481318 0.32834387 30.069580 18.812718
    Unten rechts KachelX + 1 76485 KachelY + 1 58560 0.52486111 0.32834387 30.072326 18.812718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32838924-0.32834387) × R
    4.53700000000445e-05 × 6371000     		dl = 289.052270000284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32838924-0.32834387) × R
    4.53700000000445e-05 × 6371000     		dr = 289.052270000284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52481318-0.52486111) × cos(0.32838924) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.946563071575333 × 6371000     		do = 289.044421059456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52481318-0.52486111) × cos(0.32834387) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.946577703277318 × 6371000     		du = 289.048889025676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32838924)-sin(0.32834387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946563071575333-0.946577703277318)×R²
    abs(0.52486111-0.52481318)×1.46317019847908e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46317019847908e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46317019847908e-05×40589641000000     		ar = 83549.5917903214m²